二次函式中考真題分類選編
1．（2012菏澤）已知二次函式的影象如圖所示，那麼一次函式和反比例函式在同一平面直角座標系中的影象大致是（ ）
abcd．
2．（2012煙台）已知二次函式y=2（x﹣3）2+1．下列說法：①其圖象的開口向下；②其圖象的對稱軸為直線x=﹣3；③其圖象頂點座標為（3，﹣1）；④當x＜3時，y隨x的增大而減小．則其中說法正確的有（ ）
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
3．（2012泰安）二次函式的圖象如圖，若一元二次方程有實數根，則的最大值為（ ）
a． b．3 c． d．．6
4．（2012泰安）二次函式的圖象如圖，則一次函式的圖象經過（ ）
a．第一、
二、三象限b．第
一、二、四象限
c．第二、
三、四象限 d．第
一、三、四象限
5．（2012樂山）二次函式y=ax2+bx+1（a≠0）的圖象的頂點在第一象限，且過點（﹣1，0）．設t=a+b+1，則t值的變化範圍是（ ）
a．0＜t＜1 b．0＜t＜2 c．1＜t＜2 d．﹣1＜t＜1
6．（2012衢州）已知二次函式y=﹣x2﹣7x+，若自變數x分別取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，則對應的函式值y1，y2，y3的大小關係正確的是（ ）
a．y1＞y2＞y3 b．y1＜y2＜y3 c．y2＞y3＞y1 d．y2＜y3＜y1
7．（2012義烏市）如圖，已知拋物線y1=﹣2x2+2，直線y2=2x+2，當x任取一值時，x對應的函式值分別為y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的較小值記為m；若y1=y2，記m=y1=y2．例如：當x=1時，y1=0，y2=4，y1＜y2，此時m=0．下列判斷：
①當x＞0時，y1＞y2； ②當x＜0時，x值越大，m值越小；
③使得m大於2的x值不存在； ④使得m=1的x值是或．
其中正確的是（ ）
a．①② b．①④ c．②③ d．③④
8．（2012杭州）已知拋物線y=k（x+1）（x﹣）與x軸交於點a，b，與y軸交於點c，則能使△abc為等腰三角形的拋物線的條數是（ ）
a．2 b．3 c．4 d．5
9．（2012德陽）在同一平面直角座標系內，將函式y=2x2+4x+1的圖象沿x軸方向向右平移2個單位長度後再沿y軸向下平移1個單位長度，得到圖象的頂點座標是（ ）
10．（2012德陽）設二次函式y=x2+bx+c，當x≤1時，總有y≥0，當1≤x≤3時，總有y≤0，那麼c的取值範圍是（ ）
11．（2012蘭州）拋物線y＝－2x2＋1的對稱軸是( )
12．（2012宜賓）給出定義：設一條直線與一條拋物線只有乙個公共點，只這條直線與這條拋物線的對稱軸不平行，就稱直線與拋物線相切，這條直線是拋物線的切線．有下列命題：
①直線y=0是拋物線y=x2的切線
②直線x=﹣2與拋物線y=x2 相切於點（﹣2，1）
③直線y=x+b與拋物線y=x2相切，則相切於點（2，1）
④若直線y=kx﹣2與拋物線y=x2 相切，則實數k=
其中正確命題的是（ ）
abcd． ①③④
13．（2012潛江）已知二次函式y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，它與x軸的兩個交點分別為（﹣1，0），（3，0）．對於下列命題：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正確的有（ ）
二、填空題
1．(2012揚州)如圖，線段ab的長為2，c為ab上乙個動點，分別以ac、bc為斜邊在ab的同側作兩個等腰直角三角形△acd和△bce，那麼de長的最小值是 ．
2．（2010江蘇鎮江）已知實數的最大值為 .
3.二次函式的最大值最小值是
4. (2023年本溪)如圖所示，拋物線（）與軸的兩個交點分別為和，當時，的取值範圍是
5. 已知二次函式y=ax2＋bx－3的圖象經過點a（2，－3），
b（－1，0）．要使該二次函式的圖象與x軸只有乙個交點，應把圖象沿y軸向上平移個單位．
6. 如圖，一次函式y=－2x的圖象與二次函式y=－x2+3x圖象的對稱軸交於點b.
（1）寫出點b的座標 ；
（2）已知點p是二次函式y=－x2+3x圖象在y軸右側部分上的乙個動點，將
直線y=－2x沿y軸向上平移，分別交x軸、y軸於c、d兩點. 若以cd為直角邊
的△pcd與△ocd相似，則點p的座標為 .
三、解答題
1．如圖，點a在x軸上，oa=4，將線段oa繞點o順時針旋轉120°至ob的位置．
（1）求點b的座標；
（2）求經過點a．o、b的拋物線的解析式；
（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點p，使得以點p、o、b為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點p的座標；若不存在，說明理由．
2．在平面直角座標系內，反比例函式和二次函式y=k（x2+x﹣1）的圖象交於點a（1，k）和點b（﹣1，﹣k）．
（1）當k=﹣2時，求反比例函式的解析式；
（2）要使反比例函式和二次函式都是y隨著x的增大而增大，求k應滿足的條件以及x的取值範圍；
（3）設二次函式的圖象的頂點為q，當△abq是以ab為斜邊的直角三角形時，求k的值．
3．如圖，在平面直角座標系中，已知矩形abcd的三個頂點b（1，0），c（3，0），d（3，4）．以a為頂點的拋物線y=ax2+bx+c過點c．動點p從點a出發，沿線段ab向點b運動．同時動點q從點c出發，沿線段cd向點d運動．點p，q的運動速度均為每秒1個單位．運動時間為t秒．過點p作pe⊥ab交ac於點e．
（1）直接寫出點a的座標，並求出拋物線的解析式；
（2）過點e作ef⊥ad於f，交拋物線於點g，當t為何值時，△acg的面積最大？最大值為多少？
（3）在動點p，q運動的過程中，當t為何值時，在矩形abcd內（包括邊界）存在點h，使以c，q，e，h為頂點的四邊形為菱形？請直接寫出t的值．
4．如圖，拋物線y=與x軸交於a、b兩點（點a在點b的左側），與y軸交於點c．
（1）求點a、b的座標；
（2）設d為已知拋物線的對稱軸上的任意一點，當△acd的面積等於△acb的面積時，求點d的座標；
（3）若直線l過點e（4，0），m為直線l上的動點，當以a、b、m為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的解析式．
5．如圖，已知：直線交x軸於點a，交y軸於點b，拋物線y=ax2+bx+c經過a、b、c（1，0）三點.
（1）求拋物線的解析式;
（2）若點d的座標為（-1，0），在直線上有一點p,使δabo與δadp相似，求出點p的座標；
（3）在（2）的條件下，在x軸下方的拋物線上，是否存在點e，使δade的面積等於四邊形apce的面積？如果存在，請求出點e的座標；如果不存在，請說明理由．
6．如圖，半徑為2的⊙c與x軸的正半軸交於點a，與y軸的正半軸交於點b，點c的座標為（1，0）．若拋物線過a、b兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上是否存在點p，使得∠pbo=∠pob？若存在，求出點p的座標；若不存在說明理由；
（3）若點m是拋物線（在第一象限內的部分）上一點，△mab的面積為s，求s的最大（小）值．
7．如圖，在平面直角座標系中，點a的座標為（m，m），點b的座標為（n，﹣n），拋物線經過a、o、b三點，連線oa、ob、ab，線段ab交y軸於點c．已知實數m、n（m＜n）分別是方程x2﹣2x﹣3=0的兩根．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點p為線段ob上的乙個動點（不與點o、b重合），直線pc與拋物線交於d、e兩點（點d在y軸右側），連線od、bd．
①當△opc為等腰三角形時，求點p的座標；
②求△bod 面積的最大值，並寫出此時點d的座標．
8．如圖，拋物線y=x2﹣x﹣9與x軸交於a、b兩點，與y軸交於點c，連線bc、ac．
（1）求ab和oc的長；
（2）點e從點a出發，沿x軸向點b運動（點e與點a、b不重合），過點e作直線l平行bc，交ac於點d．設ae的長為m，△ade的面積為s，求s關於m的函式關係式，並寫出自變數m的取值範圍；
（3）在（2）的條件下，連線ce，求△cde面積的最大值；此時，求出以點e為圓心，與bc相切的圓的面積（結果保留π）．
9．如圖所示，在平面直角座標系xoy中，矩形oabc的邊長oa、oc分別為12cm、6cm，點a、c分別在y軸的負半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=ax2+bx+c經過點a、b，且18a+c=0．
（1）求拋物線的解析式．
（2）如果點p由點a開始沿ab邊以1cm/s的速度向終點b移動，同時點q由點b開始沿bc邊以2cm/s的速度向終點c移動．①移動開始後第t秒時，設△pbq的面積為s，試寫出s與t之間的函式關係式，並寫出t的取值範圍．
②當s取得最大值時，在拋物線上是否存在點r，使得以p、b、q、r為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出r點的座標；如果不存在，請說明理由．
10．如圖，拋物線的圖象與x軸交於a、b兩點，與y軸交於c點，已知b點座標為（4，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）試**△abc的外接圓的圓心位置，並求出圓心座標；
（3）若點m是線段bc下方的拋物線上一點，求△mbc的面積的最大值，並求出此時m點的座標．
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