第22章知識昇華
一、知識結構圖
二、重、難點梳理
1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．事實上（a≥0）表示非負數a的算術平方根.
2．滿足下列兩個條件的二次根式叫做最簡二次根式：（1）被開方數的因數是整數，因式是整式（即被開方數不含分母）；（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式．如等是最簡二次根式.但等不是最簡二次根式.
3．幾個二次根式化成最簡二次根式後，被開方數相同的二次根式，叫做同類二次根式.如是同類二次根式.
4、二次根式的主要性質
（1）（a≥0）是乙個非負數，即≥0（a≥0）；
（2）()2=a (a≥0)；
（3）；
（4）二次根式的乘法法則：
（5）二次根式的除法法則：
5、二次根式的運算
（1）二次根式的加減：二次根式相加減，先把各個根式化成最簡二次根式，再把同類二次根式分別合併（類似整式中的合併同類項）.
（2）二次根式的乘除：二次根式相乘除，把被開方數相乘除，根指數不變.
三、考點例析
考點1: 最簡二次根式
例1 、(2023年哈爾濱市) 在下列根式中,最簡二次根式的個數為( )
a．4個b. 3 個c. 2個d.1個
分析:是最簡二次根式,中有因式可以開出,中有因數可以開出，所以不是最簡二次根式.故選c.
考點2: 同類二次根式
例2 、(2023年北京市) 下列根式中,能與合併的是( )
abcd.
分析: 能與合併的應是的同類二次根式,這幾個二次根式都不是最簡二次根式, 應先化為最簡二次根式, =;;;.所以與是同類二次根式的是,故選b.
例3 、(2023年青海省)若最簡二次根式與的被開方數相同,則的值為( )
abcd..
分析: 最簡二次根式與的被開方數相同;即,解得， 故選c.
考點3: 二次根式的運算
例4、 (2023年山東省東營市) 下列計算正確的是 ( )
abcd..
分析: 由二次根式的性質和運算法則的. 而b選項中明顯用被開方數除以非被開方數,錯用二次根式除法法則;c選項用平方差公式即可得4－5 =－1; d選項丟了=-1這一項.故選a.
例5、（2023年江西省）化簡得
a．－2bc. 2d.
分析:由二次根式的性質和運算法則得,.故選a.
考點4:化簡
例6、 （2023年北京市）計算
分析：原式=.
考點5: 運用二次根式的性質化簡
例7、（2023年江西省）已知 ．
分析：例8、 （2023年紹興）化簡得（ ）
a．2bc. －2d..
分析:由,所以==,故應選a.
考點6：二次根式成立的條件
例9、（2023年山西省課該實驗區）代數式有意義時，字母的取值範圍（ ）
a． b. cd..
分析:由分母不為零和二次根式的被開方數為非負數，所以即故選a
考點7：估算二次根式
例10、（2023年瀋陽課改）估算的值為( )
a．在5和6之間b. 在6和7之間 c. 在7和8之間d.在8和9之間.
分析：因為即，所以.故選c.
四、熱點、易混點追蹤
1、概念理解模糊、審題不清
例1、有下列命題：（1）二次根式的被開方數是相負數，則其值是非負數；（2）是最簡二次根式；（3）若是二次根式，則.其中正確的個數有（ ）個.
a、0 b、1 c、2 d、3
錯解：選d.
剖析：本例中，（1）錯在對二次根式概念的狹隘理解，認為形如的式子就是二次根式，而二次根式的值是非負數的.事實上，－2等也是二次根式，但它是非正數.
（2）錯在忽視了的條件.（3）錯在將二次根式的概念與其性質混為一談了，事實上只要滿足即可.故選a.
例2、已知與是同類二次根式，則的值為（ ）
a、4 b、5 c、無數個 d、非上述答案
錯解：選a.
剖析：選項a錯在是解而得，這考慮僅僅是最簡二次根式的情況.當或52×5也是同類二次根式，故選c.
2、對性質成立的條件理解不透
例3、有下列各式：（1）；（2）；（3）一定成立的有（ ）個.
a、0 b、1 c、2 d、3
錯解：選d.
剖析：（1）錯在不一定是非負數，（2）錯在忽視了的條件，（3）錯在等式要成立，必須滿足.故選a.
3、忽視幾何圖形中的條件限制
例4、已知為△abc的三邊長，求的值.
錯解：原式=.
剖析：本例錯在忽視了「三角形兩邊之和大於第三邊」條件的限制，而導致錯誤.
原式=.
4、計算不依據法則，隨意而為
例5、下列計算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.正確的個數有（ ）
a、3 b、4 c、5 d、非上述答案
錯解：選c.
剖析：（1）錯在臆造；（2）錯在合併同類二次根式是只考慮了「係數」；（3）錯在套用了整數與分數相加的法則；（4）、（5）錯在想巧算、快算反而弄巧成拙.故5個都錯，選d.
5、求解顧後不瞻前
例6、若有意義，則的取值範圍是 .
錯解：由題意，得，解得.
剖析：本例雖然考慮到被開方數的取值情況，但忽視了分母不能為零這個條件，正確結果為且.
例7、先化簡，然後再選擇合適的數求值.
錯解：原式=.當=0時，原式=0.
剖析：由題意，知，當=0時，原式無意義，因此只可取的數求值.如取=4時，原式=6.
例8、解方程：
錯解：原方程變為：，解得：.
剖析：只顧一直做下去，以為求得解了就大功告成，是犯這類錯誤的特點.如果解題後，回過頭來驗證一下，就可以避免這類錯誤了，本題中， =－2時，無意義，所以=2.
6、忽視隱含條件，使結論多解、漏解
例9、化簡.
錯解：原式=.
剖析：本例隱含著，故，則，化簡得原式=1.
7、已知，那麼的值是
錯解：原式=.
剖析：雖然，但我們並不知道的取值符號，因此要進行討論.（1）當時，原式=；（2）當時，原式=.故填.
五、本章達標測試
一、選擇題（每小題3分，共30分）：
1、有下列命題：（1）二次根式的被開方數是非負數，則其值是非負數；（2）是最簡二次根式；（3）若是二次根式，則.其中正確的有個.
a、0b、1c、2d、3
2、已知與是同類二次根式，則的值為
a、4b、5c、無數個 d、非上述答案
3、有下列各式：（1）；（2）；（3）.一定成立的有
a、0個b、1個c、2個d、3個
4、如果實數滿足，則的值為
a、0b、5c、2d、－5
5、若，且，則的值為
a、14.02bcd、1.402
6、如果，則的關係為
abcd、
7、下列運算正確的是
ab、cd、
8、如果代數式有意義，那麼直角座標系中點p的位置在
a、第一象限 b、第二象限c、第三象限d、第四象限
9、下列各組二次根式中，的取值範圍相同的是
a、與 b、與 c、與 d、與
10、如圖所示，有一邊長為8公尺的正方形大廳，它是由大小完全相同的黑白方磚密鋪而成，則每一塊方磚的邊長為（ ）
ab、＋1cd、
二、填空題（每小題2分，共20分）：
11、請寫出乙個無理數使它與的積是有理數
12、若，則a的取值範圍是若＝，則a的取值範圍是
13、已知二次根式與是同類二次根式，試寫出三個a的可能取值
14、乙個密碼系統的原理如下所示：輸入→→輸出，如果輸出結果為13時，則輸入的=
15、已知，那麼的值是
16、已知，，則用含的代數式表示為
17、已知（為正整數），當時，有.請用計算器計算當時，a、b的若干值，並由此歸納出當時，a、b間的大小關係為
18、數a、b在數軸上的位置如圖所示，化簡= ．
19、已知長方形相鄰兩邊之比為2︰3， 對角線長為，則長方形的面積為 .
20、規定兩種新運算：，如，那麼
三、解答題（70分）：
21、（8分）不使用計算器，計算
22、（10分）已知，求的值.
23、（10分）圖1是一種兩種口味的火鍋，為了製造這種火鍋，我們把這個實際問題轉化為乙個數學問題就是在一圓筒裡放入兩種不同的物體，並用乙個長方形的金屬薄片（金屬厚度忽略不計）分隔開來（如圖2），已知圓筒高為，容積為，問這個長方形玻璃薄片的面積為多少？（取3.14，玻璃薄片的上邊與圓筒的上底面持平）
二次函式全章複習與鞏固 知識講解 基礎
二次函式 全章複習與鞏固 知識講解 基礎 學習目標 1 通過對實際問題情境的分析確定二次函式的表示式，並體會二次函式的意義 2 會用描點法畫出二次函式的圖象，能從圖象上認識二次函式的性質 3 會根據公式確定圖象的頂點 開口方向和對稱軸 公式不要求記憶和推導 並能解決簡單的實際 問題 4 會利用二次函...
二次函式知識點彙總全
一 二次函式概念 1 二次函式的概念 一般地，形如 是常數，的函式，叫做二次函式。這裡需要強調 和一元二次方程類似，二次項係數，而可以為零 二次函式的定義域是全體實數 2.二次函式的結構特徵 等號左邊是函式，右邊是關於自變數的二次式，的最高次數是2 是常數，是二次項係數，是一次項係數，是常數項 二 ...
二次函式知識總結
一 二次函式概念 1 二次函式的概念 一般地，形如 是常數，的函式，叫做二次函式這裡需要強調 和一元二次方程類似，二次項係數，而可以為零 二次函式的定義域是全體實數 2.二次函式的結構特徵 等號左邊是函式，右邊是關於自變數的二次式，的最高次數是2 是常數，是二次項係數，是一次項係數，是常數項 二 二...