《二次根式》全章複習與鞏固--知識講解（基礎）
撰稿： 趙煒審稿：杜少波
【學習目標】
1、理解並掌握二次根式、最簡二次根式、同類二次根式的定義和性質.
2、熟練掌握二次根式的加、減、乘、除運算，會用它們進行有關實數的四則運算.
3、了解代數式的概念，進一步體會代數式在表示數量關係方面的作用.
【知識網路】
【要點梳理】
要點一、二次根式的相關概念和性質
1. 二次根式
形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.
要點詮釋：二次根式有意義的條件是，即只有被開方數時，式子才是二次根式，才有意義.
2.二次根式的性質
（1）；
（2）；
（3）.
要點詮釋：（1） 乙個非負數可以寫成它的算術平方根的平方的形式，即（），如（）.
（2）中的取值範圍可以是任意實數，即不論取何值，一定有意義.
（3）化簡時，先將它化成，再根據絕對值的意義來進行化簡.
（4）與的異同
不同點：中可以取任何實數，而中的必須取非負數；
=， =（）.
相同點：被開方數都是非負數，當取非負數時， =.
3. 最簡二次根式
（1）被開方數是整數或整式；
（2)被開方數中不含能開方的因數或因式.
滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.如等都是最簡二次根式.
要點詮釋：最簡二次根式有兩個要求：（1）被開方數不含分母；（2）被開方數中每個因式的指數都小於根指數2.
4.同類二次根式
幾個二次根式化成最簡二次根式後，被開方數相同，這幾個二次根式就叫同類二次根式.
要點詮釋：判斷是否是同類二次根式，一定要化簡到最簡二次根式後，看被開方數是否相同，再判斷.如與，由於=，與顯然是同類二次根式.
要點二、二次根式的運算
1. 乘除法
（1）乘除法法則：
要點詮釋：
（1）當二次根式的前面有係數時，可模擬單項式與單項式相乘（或相除）的法則，如.
（2）被開方數a、b一定是非負數（在分母上時只能為正數）.如.
2.加減法
將二次根式化為最簡二次根式後，將同類二次根式的係數相加減，被開方數和根指數不變，即合併同類二次根式.
要點詮釋：
二次根式相加減時，要先將各個二次根式化成最簡二次根式，再找出同類二次根式，最後合併同類二次根式.如.
【典型例題】
型別一、二次根式的概念與性質
1． 當________時，二次根式在實數範圍內有意義.
【答案】≥3.
【解析】根據二次根式的性質，必須≥0才有意義.
【總結昇華】本例考查了二次根式成立的條件，要牢記，只有時才是二次根式.
舉一反三
【高畫質課堂：二次根式高畫質id號：388065 關聯的位置名稱：填空題5】
【變式】①成立的條件是
成立的條件是
【答案】① ≤0；(≤0.)
2≤.(2≤)
2．當0≤<1時，化簡的結果是
【答案】 1.
【解析】因為≥0，所以=；又因為<1,即-1<0,所以，
所以=+1-=1.
【總結昇華】利用二次根式的性質化簡二次根式，即=，同時聯絡絕對值的意義正確解答.
舉一反三
【變式】已知，化簡二次根式的正確結果是（ ）.
a. b. c. d.
【答案】a.
3.下列二次根式中屬於最簡二次根式的是（ ）.
a. b. c. d.
【答案】a.
【解析】選項b： =；選項c：有分母；選項d： =，所以選a.
【總結昇華】本題考查了最簡二次根式的定義.最簡二次根式要滿足：（1）被開方數是整數或是整式；
（2）被開方數中不含能開方的因式或因數.
型別二、二次根式的運算
4．下列計算錯誤的是（ ）.
a. b. c.
d.【答案】 d.
【解析】選項a： 故正確；
選項b：，故正確；
選項c故正確；
選項d： 故錯誤.
【總結昇華】本題主要考查了二次根式的加減乘除運算，屬於基礎性考題.
舉一反三
【變式】計算：
【答案】.
5.化簡.
【答案與解析】
【總結昇華】本題的求解用到了積的乘方的性質，乘法運算律，平方差公式及根式的性質，是一道綜合運算題型.
6 已知的值.
【答案與解析】
【總結昇華】 化簡求值時要注意x的取值範圍，如果未確定要注意分類討論.
舉一反三
【高畫質課堂:二次根式高畫質id號：388065關聯的位置名稱：計算技巧6-7】
【變式】已知=-3, =1,求的值.
【答案】∵=-3, =1，∴,.
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