《二次函式》全章複習與鞏固—知識講解（基礎）
【學習目標】
1．通過對實際問題情境的分析確定二次函式的表示式，並體會二次函式的意義；
2．會用描點法畫出二次函式的圖象，能從圖象上認識二次函式的性質；
3．會根據公式確定圖象的頂點、開口方向和對稱軸(公式不要求記憶和推導)，並能解決簡單的實際
問題； 4．會利用二次函式的圖象求一元二次方程的近似解.
【知識網路】
【要點梳理】
要點一、二次函式的定義
一般地，如果是常數，，那麼叫做的二次函式.
要點詮釋：
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常數，a≠0)，那麼y叫做x的二次函式．這裡，當a=0時就不是二次函式了，但b、c可分別為零，也可以同時都為零．a 的絕對值越大，拋物線的開口越小.
要點二、二次函式的圖象與性質
1.二次函式由特殊到一般，可分為以下幾種形式：
其中；⑤.（以上式子a≠0）
幾種特殊的二次函式的圖象特徵如下：
2.拋物線的三要素：
開口方向、對稱軸、頂點.
(1)的符號決定拋物線的開口方向：當時，開口向上；當時，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同.
(2)平行於軸(或重合)的直線記作.特別地，軸記作直線.
3.拋物線中，的作用：
(1)決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.
(2)和共同決定拋物線對稱軸的位置.由於拋物線的對稱軸是直線，
故：①時，對稱軸為軸；②(即、同號)時，對稱軸在軸左側；③(即 、異號)時，對稱軸在軸右側.
(3)的大小決定拋物線與軸交點的位置.
當時，，∴拋物線與軸有且只有乙個交點(0，)：
①，拋物線經過原點； ②，與軸交於正半軸；③，與軸交於負半軸.
以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側，則 .
4.用待定係數法求二次函式的解析式：
(1)一般式：（a≠0）.已知圖象上三點或三對、的值，通常選擇一般式.
(2)頂點式：（a≠0）.已知圖象的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.
(可以看成的圖象平移後所對應的函式.)
(3)「交點式」：已知圖象與軸的交點座標、，通常選用交點式：
（a≠0）.(由此得根與係數的關係：).
要點詮釋：
求拋物線（a≠0）的對稱軸和頂點座標通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優缺點，應根據實際靈活選擇和運用．
要點三、二次函式與一元二次方程的關係
函式，當時，得到一元二次方程，那麼一元二次方程的解就是二次函式的圖象與x軸交點的橫座標，因此二次函式圖象與x軸的交點情況決定一元二次方程根的情況.
(1)當二次函式的圖象與x軸有兩個交點，這時，則方程有兩個不相等實根；
(2)當二次函式的圖象與x軸有且只有乙個交點，這時，則方程有兩個相等實根；
(3)當二次函式的圖象與x軸沒有交點，這時，則方程沒有實根.
通過下面**可以直觀地觀察到二次函式圖象和一元二次方程的關係：
要點詮釋：
二次函式圖象與x軸的交點的個數由的值來確定.
(1)當二次函式的圖象與x軸有兩個交點，這時，則方程有兩個不相等實根；
(2)當二次函式的圖象與x軸有且只有乙個交點，這時，則方程有兩個相等實根；
(3)當二次函式的圖象與x軸沒有交點，這時，則方程沒有實根.
要點四、利用二次函式解決實際問題
利用二次函式解決實際問題，要建立數學模型，即把實際問題轉化為二次函式問題，利用題中存在的公式、內含的規律等相等關係，建立函式關係式，再利用函式的圖象及性質去研究問題.在研究實際問題時要注意自變數的取值範圍應具有實際意義.
利用二次函式解決實際問題的一般步驟是：
(1)建立適當的平面直角座標系；
(2)把實際問題中的一些資料與點的座標聯絡起來；
(3)用待定係數法求出拋物線的關係式；
(4)利用二次函式的圖象及其性質去分析問題、解決問題.
要點詮釋：
常見的問題：求最大(小)值(如求最大利潤、最大面積、最小周長等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問題等.解決這些實際問題關鍵是找等量關係，把實際問題轉化為函式問題，列出相關的函式關係式.
【典型例題】
型別一、求二次函式的解析式
1．已知二次函式的圖象經過原點及點，且圖象與x軸的另一交點到原點的距離為1，則該二次函式的解析式為
【答案】 或．
【解析】 正確找出圖象與x軸的另一交點座標是解題關鍵．
由題意知另一交點為(1，0)或(-1，0)．
因此所求拋物線的解析式有兩種．
設二次函式解析式為．
則有，或
解之，或
因此所求二次函式解析式為或．
【點評] 此題容易出錯漏解的錯誤．
舉一反三：
【高畫質課程名稱：二次函式複習
高畫質id號： 357019 關聯的位置名稱（**點名稱）：(1)-（2）問精講】
【變式】已知：拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為x=1，交x軸於點a、b(a在b的左側)，且ab=4，交y軸於點c.求此拋物線的函式解析式及其頂點m的座標.
【答案】∵對稱軸x=1，且ab=4
∴拋物線與x軸的交點為：a(-1，0)，b(3，0)
∴y=x2-2x-3為所求,
∵x=1時y=-4 ∴m(1，-4)
∵對稱軸x=1，且ab=4
∴拋物線與x軸的交點為：a(-1，0)，b(3，0)
∴y=x2-2x-3為所求,
∵x=1時y=-4 ，
∴m(1，-4).
型別二、根據二次函式圖象及性質判斷代數式的符號
2．二次函式的圖象如圖1所示，反比例函式與正比例函式y＝(b+c)x在同一座標系中的大致圖象可能是( )．
【答案】b；
【解析】由的圖象開口向上得a＞0，又，∴ b＜0．
由拋物線與y軸負半軸相交得c＜0．
∵ a＞0，∴ 的圖象在第
一、三象限．
∵ b+c＜0，∴ y＝(b+c)x的圖象在第
二、四象限．
同時滿足和圖象的只有b．
【點評】由圖1得到a、b、c的符號及其相互關係，去判斷選項的正誤.
型別三、數形結合
3．如圖所示是二次函式圖象的一部分，其對稱軸為直線x＝1，若其與x軸一交點為(3，0)，則由圖象可知，不等式的解集是________．
【思路點撥】
根據拋物線的對稱性和拋物線與x軸的交點a的座標可知，拋物線與x軸的另乙個交點的座標，觀察圖象可得不等式的解集.
【答案】x＞3或x＜-1；
【解析】根據拋物線的對稱性和拋物線與x軸的交點a(3，0)知，拋物線與x軸的另乙個交點為(-1，0)，觀察圖象可知，不等式的解集就是函式值，y＞0時，x的取值範圍．當x＞3或x＜-1時，y＞0，因此不等式的解集為x＞3或x＜-1．
【點評】弄清與的關係，利用數形結合在圖象上找出不等式的解集．
型別四、函式與方程
4．已知拋物線與x軸沒有交點．
①求c的取值範圍； ②試確定直線經過的象限，並說明理由．
【答案與解析】
（1）∵拋物線與x軸沒有交點，∴⊿＜0，即1－2c＜0，解得c＞
(2)∵c＞，∴直線y=x＋1隨x的增大而增大，
∵b=1，∴直線y=x＋1經過第
一、二、三象限.
【點評】拋物線與x軸沒有交點，⊿＜0，可求c的取值範圍.
舉一反三：
【變式1】無論x為何實數，二次函式的圖象永遠在x軸的下方的條件是( )
a． b．
c． d．
【答案】二次函式的圖象與x軸無交點，則說明y=0時，方程無解，
即．又圖象永遠在x軸下方，則． 答案：b
【變式2】對於二次函式，我們把使函式值等於0的實數x叫做這個函式的零點， 則二次函式(m為實數)的零點的個數是( )
a．1 b．2 c．0 d．不能確定
【答案】當y=0時，，
，即二次函式的零點個數是2．
故選b.
型別五、分類討論
5．已知點a(1，1)在二次函式的圖象上．
(1)用含a的代數式表示b；
(2)如果該二次函式的圖象與x軸只有乙個交點，求這個二次函式的圖象的頂點座標．
【思路點撥】
(1)將a(1，1)代入函式解析式．(2)由△＝b2-4ac＝0求出a．
【答案與解析】
(1)因為點a(1，1)在二次函式的圖象上，所以1＝1-2a+b，所以b＝2a．
(2)根據題意，方程有兩個相等的實數根，所以，
解得a＝0或a＝2．
當a＝0時，y＝x2，這個二次函式的圖象的頂點座標是(0，0)．
當a＝2時，，
這個二次函式的圖象的頂點座標為(2，0)．
所以，這個二次函式的圖象的頂點座標為(0，0)或(2，0)．
【點評】二次函式的圖象與x軸只有乙個交點時，方程有兩個相等的實數根，所以．
型別六、二次函式與實際問題
6．為了擴大內需，讓惠於農民，豐富農民的業餘生活，鼓勵送彩電下鄉，國家決定對購買彩電的農戶實行**補貼．規定每購買一台彩電，**補貼若干元，經調查某商場銷售彩電台數y(臺)與補貼款額x(元)之間大致滿足圖1所示的一次函式關係．隨著補貼款額x的不斷增大，銷售量也不斷增大，但每台彩電的收益z(元)會相應降低且z與x之間也大致滿足圖2所示的一次函式關係．
(1)在**出台補貼措施前，該商場銷售彩電的總收益額為多少元?
(2)在**補貼政策實施後，分別求出該商場銷售彩電台數y和每台家電的收益z與**補貼款額x之間的函式關係式；
(3)要使該商場銷售彩電的總收益ω(元)最大，**應將每台補貼款額x定為多少?並求出總收益ω的最大值．
【思路點撥】
(2)依題意設y＝k1x+800，z＝k2x+200．分別將(400，1200)和(200，160)代入兩式求出k1、k2；
(3)由題意ω＝yz．
【答案與解析】
(1)在**出台補貼措施前，該商場銷售家電的總收益為800×200＝160 000(元)．
(2)依題意可設y＝k1x+800，z＝k2x+200，則有 400k1+800＝1200，200k2+200＝160，
解得k1＝1，，所以y＝x+800，．
(3)．
**應將每台補貼款額x定為100元，總收益有最大值，其最大值為162000元．
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