《一元二次方程》全章複習與鞏固—知識講解（提高）
撰稿：張曉新審稿：杜少波
【學習目標】
1.了解一元二次方程及有關概念；
2.掌握通過配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；
3.掌握依據實際問題建立一元二次方程的數學模型的方法．
【知識網路】
【要點梳理】
要點一、一元二次方程的有關概念
1. 一元二次方程的概念：
通過化簡後，只含有乙個未知數(一元)，並且未知數的最高次數是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
2. 一元二次方程的一般式：
3.一元二次方程的解：
使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
要點詮釋：
判斷乙個方程是否為一元二次方程時，首先觀察其是否是整式方程，否則一定不是一元二次方程；其次再將整式方程整理化簡使方程的右邊為0，看是否具備另兩個條件：①乙個未知數；②未知數的最高次數為2.
對有關一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個特點，不要忽視二次項係數不為0．
要點二、一元二次方程的解法
1．基本思想
一元二次方程一元一次方程
2．基本解法
直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法．
要點詮釋：
解一元二次方程時，根據方程特點，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開平方法和因式分解
法，再考慮用公式法．
要點三、一元二次方程根的判別式及根與係數的關係
1.一元二次方程根的判別式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用「」來表示，即.
（1）當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根；
（2）當△=0時，一元二次方程有2個相等的實數根；
（3）當△<0時，一元二次方程沒有實數根.
【高畫質id號：388528 關聯的位置名稱（**點名稱）：根系關係】
2.一元二次方程的根與係數的關係
如果一元二次方程的兩個實數根是，
那麼，.
注意它的使用條件為a≠0， δ≥0.
要點詮釋：
1.一元二次方程的根的判別式正反都成立．利用其可以解決以下問題：
(1)不解方程判定方程根的情況；
(2)根據參係數的性質確定根的範圍；
(3)解與根有關的證明題．
2. 一元二次方程根與係數的應用很多：
(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及引數係數；
(2)已知方程，求含有兩根對稱式的代數式的值及有關未知數係數；
(3)已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數式為根的一元二次方程．
要點四、列一元二次方程解應用題
1.列方程解實際問題的三個重要環節：
一是整體地、系統地審題；
二是把握問題中的等量關係；
三是正確求解方程並檢驗解的合理性.
2.利用方程解決實際問題的關鍵是尋找等量關係.
3.解決應用題的一般步驟：
審 (審題目，分清已知量、未知量、等量關係等)；
設 (設未知數，有時會用未知數表示相關的量)；
列 (根據題目中的等量關係，列出方程)；
解 (解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰)；
驗 (檢驗方程的解能否保證實際問題有意義）；
答 (寫出答案，切忌答非所問).
4.常見應用題型
數字問題、平均變化率問題、利息問題、利潤(銷售)問題、形積問題等.
要點詮釋：
列方程解應用題就是先把實際問題抽象為數學問題（列方程），然後由數學問題的解決而獲得對實際問題的解決.
【典型例題】
型別一、一元二次方程的有關概念
1．已知（m－1）x|m|+1+3x－2＝0是關於x的一元二次方程，求m的值.
【答案與解析】
依題意得|m|+1＝2，即|m|＝1，
解得m＝±1，
又∵m－1≠0，∴m≠1，
故m＝－1.
【總結昇華】依題意可知m－1≠0與|m|+1＝2必須同時成立，因此求出滿足上述兩個條件的m的值即可.
特別是二次項係數應為非零數這一隱含條件要注意.
舉一反三：
【變式】若方程是關於的一元二次方程，求m的值．
【答案】 根據題意得解得
所以當方程是關於的一元二次方程時，．
型別二、一元二次方程的解法
2．解下列一元二次方程．
(1)； (2)； (3)．
【答案與解析】
(1)原方程可化為：，
即(2x-6)2-(5x-10)2＝0，
2x-6+5x-10)(2x-6-5x+10)＝0，
即(7x-16)(-3x+4)＝0，
7x-16＝0或-3x+4＝0，∴ ，．
(2)，
，x-3)[5(x-3)-(x+3)]＝0，
即(x-3)(4x-18)＝0，∴ x-3＝0或4x-18＝0，
∴ ，．
(3)，
∴ ．即，
【總結昇華】 (1)方程左邊可變形為，因此可用平方差公式分解因式；
(2)中方程右邊分解後為(x-3)(x+3)，與左邊中的(x-3)2有公共的因式，
可移項後提取公因式(x-3)後解題；
(3)的左邊具有完全平方公式的特點，可用公式變為(2x+1+2)2＝0再求解．
舉一反三：
【變式】解方程： (1)3x+15＝-2x2-10x； (2)x2-3x＝(2-x)(x-3)．
【答案】
(1)移項，得3x+15+(2x2+10x)＝0，∴ 3(x+5)+2x(x+5)＝0，
即(x+5)(3+2x)＝0，∴ x+5＝0或3+2x＝0，
∴ ，．
(2)原方程可化為x(x-3)＝(2-x)(x-3)，移項，x(x-3)-(2-x)(x-3)＝0，
x-3)(2x-2)＝0，∴ x-3＝0或2x-2＝0，
∴ ，．
型別三、一元二次方程根的判別式的應用
3．關於x的方程有實數根．則a滿足（ ）
a．a≥1 b．a＞1且a≠5 c．a≥1且a≠5 d．a≠5
【答案】a；
【解析】①當，即時，有，，有實數根；
②當時，由△≥0得，解得且．
綜上所述，使關於x的方程有實數根的a的取值範圍是．
答案：a
【總結昇華】注意「關於x的方程」與「關於x的一元二次方程」的區別，前者既可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程，所以必須分類討論，而後者隱含著二次項係數不能為0．
【高畫質id號：388528 關聯的位置名稱（**點名稱）：一元二次方程的根的判別式】
4． 為何值時，關於x的二次方程
（1）滿足時,方程有兩個不等的實數根；
（2）滿足時,方程有兩個相等的實數根；
（3）滿足時,方程無實數根.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】求判別式，注意二次項係數的取值範圍.
【總結昇華】根據判別式及k≠0求解.
型別四、一元二次方程的根與係數的關係
5．已知關於x的方程，試探求：是否存在實數m使方程的兩個實數根的平方和等於56，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．
【答案與解析】
存在．設方程兩根為x1、x2，根據題意，得，，，
而，於是有，整理得，
解這個方程得， ，
當時，△＝ ，
當時，△＝，
所以符合條件的m的值為-2．
【總結昇華】由兩個實數根的平方和等於56，列出關係式，再由根與係數關係求出m的值，通過判別式去驗證m值是否符合題意，從而得出結論.
舉一反三：
【變式】已知關於x的方程有兩個不相等的實數根、．
(1)求k的取值範圍；
(2)是否存在實數k，使方程的兩實數根互為相反數?如果存在，求出k的值；如果不存在，
請說明理由．
【答案】(1)根據題意，得△＝(2k-3)2-4(k-1)(k+1)＝，
所以．由k-1≠0，得k≠1.
當且k≠1時，方程有兩個不相等的實數根；
(2) 不存在．如果方程的兩個實數根互為相反數，則
，解得．
當時，判別式△＝-5＜0，方程沒有實數根．
所以不存在實數k，使方程的兩個實數根互為相反數．
型別五、一元二次方程的應用
6．甲、乙兩人分別騎車從a、b兩地相向而行，甲先行1小時後，乙才出發，又經過4小時兩人在途中的c地相遇，相遇後兩人按原來的方向繼續前進.乙在由c地到達a地的途中因故停了20分鐘，結果乙由c地到達a地時比甲由c地到達b地還提前了40分鐘，已知乙比甲每小時多行駛4千公尺，求甲、乙兩人騎車的速度.
【答案與解析】
設甲的速度為x千公尺/時，則乙的速度為（x+4）千公尺/時.
根據題意，得
解之,得x1=16，x2=－2.
經檢驗：x1=16，x2=－2都是原方程的根，但x2=－2不合題意，捨去.
∴當x=16時，x+4=20.
答：甲每小時行駛16千公尺，乙每小時行駛20千公尺.
【總結昇華】注意解題的格式，解分式方程應用題要雙檢驗，即驗根、符合題意.
舉一反三：
【變式】某工程隊再我市實施棚戶區改造過程中承包了一項拆遷工程。原計畫每天拆遷1250m2，因為準備工作不足，第一天少拆遷了20％。從第二天開始，該工程隊加快了拆遷速度，第三天拆遷了1440m2.
求：(1)該工程隊第一天拆遷的面積；
(2)若該工程隊第二天、第三天每天的拆遷面積比前一天增加的百分數相同，求這個百分數.
【答案】（1）1000m2；（2）20%.
一元二次方程鞏固提高
知識點睛 1.一元二次方程的相關概念 一般形式 ax2 bx c 0 a，b，c為常數，a 0 ax2，bx，c，分別稱為二次項 一次項 常數項 a，b分別稱為二次項係數和一次項係數 2.一元二次方程解法 直接開平方法 配方法 公式法 因式分解法 ax2 bx c 0 a，b，c為常數，a 0 當時...
一元二次方程練習 全章
1.1建立一元二次方程模型 一 填空題 1 一元二次方程的一般形式是 2 方程 的二次項係數為一次項係數為常數項為 3 一元二次方程的一般形式是 4 若關於x的一元二次方程的乙個解為1，那麼的值為 二選擇題 1.下列方程是一元二次方程的是 a.b.c.d.2下列說法正確的是 a.沒有一次項，所以不是...
一元二次方程複習
1 下列方程是關於x的一元二次方程的是 a b c d 2 一元二次方程3x x 1 x 2 x 2 9化為一般形式為二次項係數為 一次項係數為 常數項為 3 關於x的方程,當時為一元一次方程 當時為一元二次方程。4 方程x2 2x 2 0的根的情況為 5 已知一元二次方程有乙個根為零，則的值 6 ...