一元二次方程及相關的概念
一元二次方程定義中的三個條件：（１）是整式方程（２）含有乙個未知數（３）未知數的最高次數是２，三個條件缺一不可。
2、一般地，任何乙個關於x的一元二次方程，經過整理，都能化成如下形式這種形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是是二次項係數；bx是是一次項係數；_____是常數項。（注意：二次項（係數）、一次項（係數）、常數項都要包含它前面的符號。
二次項係數是乙個重要條件，不能漏掉。）
例1、在下列方程中，一元二次方程有
1 3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-=0
例2、將方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，並寫出其中的二次項係數、一次項係數及常數項．
例3、求證：關於x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不論m取何值，該方程都是一元二次方程．
1、判斷下列方程，哪些是一元二次方程（ ）
（1ax2＋bx＋c＝０
2、 方程2x2=3（x-6）化為一般式後二次項係數、一次項係數和常數項分別是（ ）．
a．2，3，-6 b．2，-3，18 c．2，-3，6 d．2，3，6
3、將下列方程化成一元二次方程的一般形式，並寫出其中的二次項係數、及常數項：
⑴ 3x2+1=6x4x2+5x=81x(x+5)=0
⑷ (2x-2)(x-1)=0 ⑸ x(x+5)=5x-10 ⑹ (3x-2)(x+1)=x(2x-1)
4、當a______時，關於x的方程a（x2+x）=x2-（x+1）是一元二次方程.
5、若關於x的方程（m+3）+（m-5）x+5=0是一元二次方程，試求m的值，並計算這個方程的各項係數之和．
6、關於x的方程（m2-m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程嗎？為什麼？
7、當= 時，關於x的方程是一元二次方程；當= 時，它是
一元一次方程
一元二次方程的根
一元二次方程根的判斷
例1、下面哪些數是方程2x2+10x+12=0的根？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．
例2、已知關於x的一元二次方程有乙個非零根-b，則a-b=
一、選擇題
1．方程x（x-1）=2的兩根為（ ）．
a．x1=0，x2=1 b．x1=0，x2=-1 c．x1=1，x2=2 d．x1=-1，x2=2
2．方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（ ）．
a．x1=b，x2=a b．x1=b，x2= c．x1=a，x2= d．x1=a2，x2=b2
3．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0），則=（ ）．
a．1 b．-1 c．0 d．2
二、填空題
1．如果x2-81=0，那麼x2-81=0的兩個根分別是x1x2
2．已知方程5x2+mx-6=0的乙個根是x=3，則m的值為________．
3．方程（x+1）2+（x+1）=0，那麼方程的根x1=______；x2
4. 如果x=1是方程ax2+bx+3=0的乙個根，則（a-b）2+4ab的值為 ．
5．一元二次方程的乙個根是0，則a的值是
方法一：直接開平方法解一元二次方程
(1)定義：利用的定義，通過直接求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法．
(2)理論依據：用直接開平方法解一元二次方程的理論依據是平方根的定義．由平方根的定義可知，正數有個平方根，且它們互為0的平方根是 ，負數
(3)用直接開平方法解一元二次方程的基本步驟是：
①將方程轉化成的形式，它的一邊是乙個式，另一邊是乙個
②當n≥0時，兩邊開平方便可求出它的根；當n＜0時，方程無實數根．
注意：直接開平方法實際是求乙個數平方根的運算．特別注意方程兩邊開平方時，一邊取「±」號，以防漏解．
【例1】用直接開平方法解下列方程：
(1)(x－2)2＝5；(2)81(x－2)2＝16；(3) (3y－1)2－8＝0.
1、解下列方程
（1） （2） （3）（4）
2、解下列方程
（1）（x＋1）2－4＝0； （2）4（2－x）2－9＝0； （3）2(x－1)2－18＝0；
用直接開平方法解兩邊都是含有未知數的代數式的平方的一元二次方程
當一元二次方程兩邊都是含有未知數的代數式的平方的形式時，也可用直接開平方法．例如，關於x的方程(ax＋b)2＝(cx＋d)2，直接開平方，得ax＋b＝±(cx＋d)，然後可化為兩個一元一次方程進行求解．
【例2】解方程：
解方程：x2－6x＋9＝(5－2x)2.；
方法二：配方法解一元二次方程
1、定義：先對原一元二次方程 ，使它出現式後，再用法來求解的方法．
2、配方法解一元二次方程的依據：用配方法解一元二次方程是以完全平方公式a2±2ab＋b2＝(a±b)2與直接開平方法為依據，將方程加以變形，從而獲得其解的一種方法，這種方法適合於解任何型別的一元二次方程．
3、用配方法解一元二次方程的一般步驟
（1）轉化：把一元二次方程化為一般形式
(2）移項：把常數項移到方程的
(3）配方：方程兩邊同時除以二次項係數，將二次項係數化為 ；方程左右兩邊同時加上
（4）定式：把方程寫成的形式．
（5）求解：用直接開平方法解方程
由此可見，只要把乙個一元二次方程變形為的形式（其中、都是常數）如果______0，可通過直接開平方法求方程的解；如果______0，則原方程無解。
例如，求方程x2＋6x－16＝0的解，可按以下流程進行．
【例1】
（1） （2）
（3） （4）
【例2】用配方法解下列方程：
(1)x2＋x－1＝02)3x2－1＝－4x. ；
一、填空：
1、（1） （2）；
（3）； （4）。
2、若是完全平方式，則。
3、把方程的左邊配成乙個完全平方式，則方程的兩邊需同時加上的式子是_____。
4、已知直角三角形一邊長為8，另一邊長是方程的根，則第三邊的長為______。
二、用配方法解下列方程
（123）
（4） 4x2－7x＋2＝05）
4．二次多項式的配方
(1)基本思路：二次多項式的配方與解方程中的配方略有不同，二次多項式的配方是恒等變形，為了使二次項係數化為1，各項需提出係數，配方時一次項係數一半的平方，同時
再同樣的數，使代數式的值保持不變．
(2)主要步驟
①將二次項係數化為1.
②加上一次項係數一半的平方，同時為保證原式的值不變，再減去所加上的數．
③計算並整理成完全平方形式．
(3)主要用途
①利用配方法能證明二次三項式恆大於零、恆小於零、恆不等於零，以及求最值等問題．
②利用配方變形還可求一些特殊代數式中某些字母的值．
【例3－1】用適當的數填空．
(1)x2＋x＋1＝(x＋______)2＋______；
(2)3x2＋6x＋1＝3(x＋______)2－______.
【例3－2】（1）利用配方法證明：無論為何值，二次三項式恒為負；
（2）根據（1）中配方結果，二次三項式有最大值還是最小值？最值是多少？
1、代數式有最________值，最值是________。
2、證明：代數式－10x2＋7x－4恆小於0.
5．與一元二次方程有關的方案設計問題
(1)方案設計題的意義
方案設計問題是指通過設定實際問題情境，給出若干資訊，提出問題的設計要求，要求運用學過的技能和方法，進行設計和操作，以尋求解決問題的方案．
(2)方案設計題的解題思路
圖案的設計具有較大的開放性，在設計過程中，要充分發揮想象力，也可以親自動手操作，並運用所學的相關知識進行作圖、計算、推理，從而得出相應的答案．
(3)一元二次方程有兩個根，這些根雖然滿足所列的一元二次方程，但未必符合實際問題，因此，解完一元二次方程之後，要按題意檢驗這些根是不是實際問題的解．,
【例4】如圖所示，要建乙個面積為130 m2的倉庫，倉庫的一邊靠牆(牆長16 m)，並在與牆平行的一邊開一道1 m寬的門，現有32 m長的木板，求倉庫的長和寬．
方法三：公式法解一元二次方程
1．一元二次方程的求根公式及推導
(1)求根公式的定義
一般地，對於一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，當b2－4ac≥0時，它的根是x＝.這個式子稱為一元二次方程的求根公式．
(2)求根公式的推導
一元二次方程求根公式的推導過程，就是用配方法解一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的過程．具體推導過程如下：
【例1】方程3x2－8＝7x化為一般形式是________，其中abc方程的根為________．
一元二次方程
八年級數學 下 導學案 第8章 一元二次方程複習 1 設計人於敏 學習目標 1 理解一元二次方程的概念，知道一元二次方程的一般形式。2 會選擇適當的方法解一元二次方程。3 知道根的判別式與根與係數的關係，能根據它們解決簡單的問題。知識回顧 知識點一 一元二次方程的解及有關概念 常見題型 1 一元二次...
一元二次方程
一 一元二次方程的相關概念 1.整式方程的概念 方程的兩邊都是關於未知數的整式，這樣的方程叫做整式方程。2.一元二次方程的概念 只含有乙個未知數，並且未知數的最高次數是2的整式方程叫做一元二次方程。必須同時滿足的三個條件 方程的兩邊都是關於未知數的整式 只含有乙個未知數 未知數的最高次數是2。3.一...
一元二次方程
1 考察一元二次方程概念 1 2007年鄂爾多斯 下列方程不是整式方程的是 a b c d 2 2008年湖北隨州 下列方程不是一元二次方程的是 ab cd x2 x 1 x2 3 2010年陝西西安 方程是關於的一元二次方程，則的值為 abc 2d 4 2010年武漢 一元二次方程，把二次項係數變...