函式的單調性
【知識梳理】
知識點一增、減函式的定義
1、增函式：設函式y=f(x)的定義域為i，如果對於定義域i內的某個區間d內的任意兩個自變數x1，
x2，當x12、減函式：設函式y=f(x)的定義域為i，如果對於定義域i內的某個區間d內的任意兩個自變數x1，
x2，當x1 變形式：為增函式；為減函式
知識點二利用定義證明函式單調性的步驟：
（1）任取x1，x2∈d，且x1 （2）作差f(x1)－f(x2)，變形
（3）定號，下結論
知識點三單調性的運算性質：
增+增=增； 減+減=減； 增-減=增； 減-增=減
【典例剖析】
[, , ]
【例1】（1）證明函式在上是增函式
（2）證明函式在定義域上是增函式
【例2】證明函式在上是增函式
【變式】已知函式f(x)＝(x∈[2，＋∞))，(1)求f(x)的最小值； (2)若f(x)>a恆成立，求a的取值範圍．
【例3】設函式f(x)對任意實數x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0時f(x)<0,且f(1)= -2,求f(x)
在[-3，3]上的最大值和最小值.
解析:設x10,∴f(x2-x1)<0）
所以f(x)是r上的減函式, 故f(x)在[-3,3]上的最大值為f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,最小值為f(-3),
令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(x)為奇函式.∴f(-3)=-f(3)=6.
【變式】定義在r上的函式y=f（x），f（0）≠0，當x＞0時，f（x）＞1，且對任意的a，b∈r，有f（a+b）=f（a）·f（b）。
（1）證明：f（0）=1；
（2）證明：對任意的x∈r，恒有f（x）＞0；
（3）證明：f（x）是r上的增函式；
（4）若，求x的取值範圍
【變式】定義在r上的函式y=f（x），f（0）≠0，當x＞0時，f（x）＞1，且對任意的a，b∈r，有f（a+b）=f（a）f（b），
（ⅰ） 求證：對任意的x∈r，恒有f（x）＞0；
（ⅱ）若f（x）f（2x-x2）＞1，求x的取值範圍．
【例4】已知偶函式f(x)的定義域是x≠0的一切實數，對定義域內的任意x1,x2都有
，且當時，求證：f(x)在(0,+∞)上是增函式；
解： （1）設，則
∵，∴，∴ ，即，∴
【變式1】已知函式f(x)對任何正數x,y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)≠0,當x>1時,f(x)<1.
試判斷f(x)在(0,+∞)上的單調性,並說明理由.
解:，，所以f(x1)>f(x2),故f(x)在r+上為減函式.
【變式2】已知函式f(x)的定義域為r，且對m、n∈r,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－)=0,當x>－時，f(x)>0.求證：f(x)是單調遞增函式；
證明：設x1＜x2,則x2－x1－>－,由題意f(x2－x1－)>0,∵f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)+x1］－f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)=f(x2－x1)－1=f(x2－x1)+f(－)－1=f［(x2－x1)－］>0,
[, , ]
1、比較函式值的大小
【例5】如果函式，對任意實數t都有f（2+t）=f（2-t），比較、、
的大小【變式】已知f（x）=f（4-x），，當x﹥2時，f（x）是增函式，試比較、、的大小
結論：異號看對稱 ①對稱軸
②對稱軸；③ 對稱軸；
2、求引數的範圍
【例6】已知在上為增函式，則的取值範圍是
解析：【變式1】已知在區間上的最大值是，則實數等於
解析：對稱軸，在區間上是減函式，
函式在區間上的最大值為
或（舍）。
【變式2】函式f(x) = ax2＋4(a＋1)x－3在[2，＋∞）上遞減，則a的取值範圍是__
【變式3】函式f(x)=在區間(－2，＋∞)上單調遞增，則實數a的取值範圍是
【變式4】已知函式，若在是增函式，求實數的範圍
解：定義法，設，由得要使在區間上是增函式，只需即恆成立，則故的取值範圍為
[, , ]
【例7】已知f（x）是定義域為上的增函式，若f（a-1）﹥f（1-3a），求實數a的取值範圍
【變式1】定義在上的函式f(x)滿足：①f(2)=1；②
③當時，有。若，求x的取值範圍。
【變式2】f (x)是定義在( 0，＋∞)上的增函式，且f() = f(x)－f(y)
① 求f (1)的值．
② 若f (6)= 1，解不等式 f( x＋3 )－f () ＜2 ．
解：①在等式中，則f(1)=0．
②在等式中令x=36，y=6則
故原不等式為：即f[x(x＋3)]＜f(36)，
又f(x)在(0，＋∞)上為增函式，
故不等式等價於：
【變式3】已知是定義在上的奇函式，且，若時，有成立。
① 判斷在上的單調性，並證明它；
② 解不等式：
③ 若對所有的恆成立，求實數m的取值範圍。
解：（1）令
上是增函式
（2）由題意得
（3），
③，成立綜上
【變式2】已知且為常數。
（1）設，求的解析式；
（2）設，是否存在，使在區間上是減函式，且在上是增函式。
（1）依題意，得=+2c++c， =+2+c. =， ，，
（2）由題意。
令，可得。
當時；當時，。
依題意時，是減函式，時，是增函式。
又時，是減函式，
依復合函式的單調性可知：
為增函式；
時，為減函式。
，即。由單調性的定義可證：當時，在上是減函式，在（-1,0）上是增函式。
1、若函式的值域是，則函式的值域是（ b ）
a． b． c． d．
2、已知為上的減函式，則滿足的實數的取值範圍是（ c ）
a． b． c． d．
3、已知函式若則實數的取值範圍是( )
a. b. c. d.
【考點定位】本小題考查分段函式的單調性問題的運用。以及一元二次不等式的求解。
解析：由題知在上是增函式，由題得，解得，故選擇c。
已知函式是r上的增函式，則的取值範圍是
4、（2012福建理）對於實數和，定義運算「*」：；設，且關於的方程恒有三個互不相等的實數根，則的取值範圍是
解答：由題可得，
可得，且所以時，，
所以。5、函式在上有定義，若對任意，有，則稱在上具有性質。設在[1,3]上具有性質，現給出如下命題：
①在上的影象時連續不斷的；
②在上具有性質；
③若在處取得最大值1，則，；
④對任意，
有。其中真命題的序號是（ ）
2、①② b．①③ cd．③④
6、函式的定義域為a，若，且時總有，則稱為單函式．例如，函式是單函式．下列命題：
①函式是單函式；
②若為單函式，且，則
③若f：ab為單函式，則對於任意bb，它至多有乙個原象；
④函式f（x）在某區間上具有單調性，則f（x）一定是單函式．
其中的真命題是寫出所有真命題的編號）
答案：②③④
解析 ：①錯，，②③④正確。
7、設，函式，，，試討論函式的單調性．
【解析】
對於，當時，函式在上是增函式；
當時，函式在上是減函式，在上是增函式；
對於，當時，函式在上是減函式；
當時，函式在上是減函式，在上是增函式。
3、定義域為r的函式f(x)滿足f(x+2)=3f(x)，當x［0,2］時，f(x)=x2-2x，若x［－4,－2］時，f(x)恆成立 ，則實數t的取值範圍是( )
a、（－∞，－1）∪（0,3］ b、（－∞，－）∪（0,］
c、［－1,0）∪［3，＋∞） d、［－,0）∪［，＋∞）
9、（七中高2014級10月考22）已知函式
（1）若時，求的值域；
（2）若存在實數，當時，恆成立，求實數的取值範圍。
解：（1）由題意得：
當時，，
∴此時的值域為2分
當時，，
∴此時的值域為4分
當時，，
∴此時的值域為：……………………6分
（2）由恒成立得：恆成立，
令，因為拋物線的開口向上，所以，由恒成立知：………………8分
化簡得： 令
則原題可轉化為：存在，使得即：當，……10分
∵，的對稱軸：
①當即：時，
∴解得12分
②當即：時，
∴解得：
綜上：的取值範圍為14分
第7講函式的單調性
知識框架 1 函式單調性的概念 1 增函式 一般地，設函式的定義域為，如果對於定義域內的某個區間d內的任意兩個自變數，當時，都有，那麼就說在區間d上是增函式，如圖1 2 減函式 一般地，設函式的定義域為，如果對於定義域內的某個區間d內的任意兩個自變數，當時，都有，那麼就說在區間d上是減函式，如圖2....
第3講函式的單調性與值域
期考內容提要和要求 一 期考內容提要 通過已學過的函式特別是二次函式，理解函式的單調性 最大 小 值及其幾何意義 結合具體函式，了解奇偶性的含義 學會運用函式圖象理解和研究函式的性質 二 命題趨勢 要求考生會利用單調性比較大小，求函式最值與解不等式，並要求會用定義證明函式的單調性 三 備考指南 1 ...
第5講函式的單調性與最值
2014跳出題海 高考數學總複習高分攻略 第5講函式的單調性與最值 時間 45分鐘分值 100分 1 下列函式中，滿足 對任意x1，x2 0，當x1f x2 的是 a f x b f x x 1 2 c f x ex d f x ln x 1 2 函式f x 1 在 3，4 上 a 有最小值無最大值...