【知識框架】
1．函式單調性的概念
（1）增函式：一般地，設函式的定義域為，如果對於定義域內的某個區間d內的任意兩個自變數，，當時，都有，那麼就說在區間d上是增函式，如圖1 .
（2）減函式：一般地，設函式的定義域為，如果對於定義域內的某個區間d內的任意兩個自變數，，當時，都有，那麼就說在區間d上是減函式，如圖2.
注：①函式的單調性是在定義域內的某個區間上的性質，是函式的區域性性質.
②一般來說，求函式單調區間可以根據函式的圖象．在某區間內，由左至右圖象是上公升的，該區間就是函式的單調增區間；某區間內，由左到右圖象是下降的，該區間就是函式的單調減區間．
2．函式的單調性定義：如果函式在某個區間上是增函式或是減函式，那麼就說函式在這一區間具有（嚴格的）單調性，區間d叫做的單調區間.
注：如果函式有若干個增（減）區間，則這幾個區間用「，」或「和」連線.
3．證明或判斷函式單調性的方法主要是定義法（在解決選擇或填空題時有時可用圖象法），利用定義法證明或判斷函式單調性的步驟是：
4．抽象函式的單調性
（1）確定函式定義域；
（2）根據單調性去符號「」，如果函式在給定區間內是增函式，則去掉符號「」後，不等式方向不變；如果函式在給定區間內是減函式，則去掉符號「」後，不等式方向改變．
5．復合函式的單調性：「同增異減」（口訣：模擬，「負負得正，正負得負，正正得正」乘法口訣）.
6．增減函式的「運算」法則：
（1）加減運算：增+增=增；增-減=增；減+減=減；減-增=減；增+減=不能確定；增-增=不能確定.
（2）增函式開方還是增函式；減函式開方還是減函式.
注：無乘除運算.
【例1】如圖所示的是定義在區間[-5，5]上的函式的圖象，則函式的單調遞減區間是___[-2，13，5]____，在區間___[-5，-21，3]___上是增函式．
【舉一反三】
1. 下列函式中，在區間（0，2）上為增函式的是（ b ）
①；②[', 'altimg': '', 'w': '15', 'h': '43', 'omath': '2x'}]；③；④.
abcd.④
2．函式的單調遞減區間是（ c ）
a．[0b．（-∞，0c．（-∞，0），（0d．（-∞，0）∪（0，+∞）
3. 如圖分別為函式和的圖象，試寫出函式和的單調增區間.
【解析】由題意,確定函式y=f(x)和y=g(x)的單調增區間,即尋找圖象中呈上公升趨勢的一段圖象.
由圖(1)可知,在[1,4)和[4,6)內,y=f(x)是單調遞增的.
由圖(2)可知,在（，0）[,0}\\right)', 'altimg': '', 'w': '80', 'h':
'43', 'omath': '-3π2,0'}]和（，）[,\\frac}\\right)', 'altimg': '', 'w':
'89', 'h': '43', 'omath': '3π2,5π2'}]內,y=g(x)是單調遞增的.
【例2】下列函式在區間（-∞，0）上為增函式的是（ b ）
abcd．
【例3】函式在（0，+∞）上（ a ）
a．遞增b．遞減c．先增再減d．先減再增
【舉一反三】
1. 下列函式中，在區間（0，1）上是增函式的是（ a ）
abc.[', 'altimg': '', 'w': '16', 'h': '43', 'omath': '1xd.
2．下列函式中，在區間（0，2]上為增函式的是（ b ）
abcd．
3．下列函式中，在區間（0，+∞）上為減函式的是（ c ）
a． bcd．
【例4】作出函式的圖象並指出它的單調區間．
[解析] 根據絕對值的意義，y＝－x2＋2|x|＋3＝[\\\\ \\end-x^_{}+2x+3,x≥0,-x^_{}-2x+3,x<0}\\right. }', 'altimg': '', 'w':
'-99995', 'h': '2', 'eqmath': '\\s( \\b\\lc\\]＝[-(x-1)^_{}+4,x≥0\\\\ -(x+1)^_{}+4,x<0\\end}\\right.
', 'altimg': '', 'w': '179', 'h':
'112', 'eqmath': ' \\b\\lc\\]
作出函式圖象如圖所示，根據圖象可知，函式在區間(－∞，－1]，[0,1]上是增函式；函式在區間(－1,0)，(1，＋∞)上是減函式．
【舉一反三】
1．函式在區間[-3，0]上是（ c ）
a．遞減b．遞增c．先減後增d．先增後減
2．函式的單調減區間是___(－∞，1)，(1
3．函式的單調遞增區間是___[1單調遞減區間是___（-∞，1]_____．
4．求的單調區間．
解：令g(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.
先作出g(x)的圖象，保留其在x軸及x軸上方部分，把它在x軸下方的圖象翻到x軸上方就得到f(x)＝|x2＋2x－3|的圖象，如圖所示．
由圖象易得：函式的遞增區間是[－3，－1]，[1，＋∞)；函式的遞減區間是(－∞，－3]，[－1,1]．
【例5】函式，當∈[-2，＋∞）時，為增函式，當∈（-∞，-2]時，函式為減函式，則等於（ b ）
a．-4b．-8c．8d．無法確定
【舉一反三】
1．設在r上是減函式，則有（ d ）
abcd．
2．如果函式在區間（-∞，4]上是減函式，則實數的取值範圍是（ b ）
a．[-3b．（-∞，-3c．（-∞，5d．[3，+∞）
3．已知函式在區間（-∞，1]上是減函式，則實數的取值範圍是___（-∞，-1]_____．
4．函式，當∈[2，+∞）時是增函式，當∈（-∞，2]時是減函式，則＝____-3____.
【例6】如果函式在[，]上是增函式，那麼對於任意的，∈[，]（），下列結論中不正確的是（ c ）
ab．cd.
【舉一反三】
1．下列函式中，滿足「對任意，∈（0，+∞），都有」的是（ c ）
abcd．
2. 設函式滿足：對任意的，∈r都有，則與的大小關係是 f(-3)>f(-π) .
【例7】證明函式在（2，+∞）上是增函式．
[證明] 任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1∵24，x1x2－4>0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)【舉一反三】
1．證明函式在（-∞，0）上是增函式．
證明設x1，x2是區間(－∞，0)上任意兩個實數，且x1因為x10，x1＋x2<0，x[)}', 'altimg': '', 'w': '42', 'h':
'25', 'eqmath': '\\s(, \\)o\\al(\\s(2,),\\s(,1))'}]x[_{}}\\mkern-13mu_}', 'altimg': '', 'w':
'16', 'h': '34', 'eqmath': ' \\o\\al(\\s(2,),\\s(,2))'}]>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)2．利用單調性的定義，證明函式在（-1，+∞）上是減函式．
證明：設x1，x2是區間(－1，＋∞)上任意兩個實數且x1∵－1＜x1＜x2，∴x2－x1>0，x1＋1>0，x2＋1>0.
∴[_-x^{}_}_+1)(x^{}_+1)}', 'altimg': '', 'w': '142', 'h':
'53', 'eqmath': ' \\f(x\\s(,2)－x\\s(,1),\uf028x\\s(,1)＋1\uf029\uf028x\\s(,2)＋1\uf029)'}]>0.即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)．∴y＝[}', 'altimg':
'', 'w': '54', 'h': '33', 'eqmath':
'\\s(, \\f(x)＋2,x＋1)'}]在(－1，＋∞)上是減函式．
第4講函式的單調性 好 答案
函式的單調性 知識梳理 知識點一增 減函式的定義 1 增函式 設函式y f x 的定義域為i，如果對於定義域i內的某個區間d內的任意兩個自變數x1，x2，當x12 減函式 設函式y f x 的定義域為i，如果對於定義域i內的某個區間d內的任意兩個自變數x1，x2，當x1 變形式 為增函式 為減函式 ...
第3講函式的單調性與值域
期考內容提要和要求 一 期考內容提要 通過已學過的函式特別是二次函式，理解函式的單調性 最大 小 值及其幾何意義 結合具體函式，了解奇偶性的含義 學會運用函式圖象理解和研究函式的性質 二 命題趨勢 要求考生會利用單調性比較大小，求函式最值與解不等式，並要求會用定義證明函式的單調性 三 備考指南 1 ...
第5講函式的單調性與最值
2014跳出題海 高考數學總複習高分攻略 第5講函式的單調性與最值 時間 45分鐘分值 100分 1 下列函式中，滿足 對任意x1，x2 0，當x1f x2 的是 a f x b f x x 1 2 c f x ex d f x ln x 1 2 函式f x 1 在 3，4 上 a 有最小值無最大值...