（2014跳出題海）高考數學總複習高分攻略 [第5講函式的單調性與最值]
(時間：45分鐘分值：100分)
1．下列函式中，滿足「對任意x1，x2∈(0，＋∞)，當x1f(x2)」的是( )
a．f(x)＝
b．f(x)＝(x－1)2
c．f(x)＝ex
d．f(x)＝ln(x＋1)
2．函式f(x)＝1－在[3，4)上( )
a．有最小值無最大值
b．有最大值無最小值
c．既有最大值又有最小值
d．最大值和最小值皆不存在
3．[2013·天津卷] 下列函式中，既是偶函式，又在區間(1，2)內是增函式的為( )
a．y＝cos2x，x∈r
b．y＝log2|x|，x∈r且x≠0
c．y＝，x∈r
d．y＝x3＋1，x∈r
4．函式f(x)＝的最大值為________．
5．[2013·寧波模擬] 已知f(x)是定義在實數集r上的增函式，且f(1)＝0，函式g(x)在(－∞，1]上為增函式，在(1，＋∞)上為減函式，且g(4)＝g(0)＝0，則集合＝( )
a． b．
c． d．
6．[2013·全國卷] 設f(x)是週期為2的奇函式，當0≤x≤1時，f(x)＝2x(1－x)，則f＝( )
a．－ b．－
c. d.
7．[2013·哈爾濱師大附中期中] 函式y＝的值域為( )
a．(－∞，1) b.
c. d.
8．[2013·惠州二調] 已知函式f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，則b的取值範圍為( )
a．(2－，2＋) b．[2－，2＋]
c．[1，3] d．(1，3)
9．[2013·長春外國語學校月考] 已知函式f(x)＝滿足對任意的實數x1≠x2都有<0成立，則實數a的取值範圍是( )
a．(3，＋∞) b．(0，1)
c. d．(1，3)
10．若函式y＝f(x)的值域是，則函式f(x)＝f(x)＋的值域是________．
11．若在區間上，函式f(x)＝x2＋px＋q與g(x)＝x＋在同一點取得相同的最小值，則f(x)在該區間上的最大值是________．
12．函式y＝在(－2，＋∞)上為增函式，則a的取值範圍是________．
13．函式y＝ln的單調遞增區間是________．
14．(10分)試討論函式f(x)＝的單調性．
15．(13分)已知函式f(x)＝a－.
(1)求證：函式y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函式；
(2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恆成立，求實數a的取值範圍．
16．(12分)已知函式f(x)＝(x∈r，且x≠2)．
(1)求f(x)的單調區間；
(2)若函式g(x)＝x2－2ax與函式f(x)在x∈[0，1]上有相同的值域，求a的值．
【基礎熱身】
1．a [解析] 由題意知，函式f(x)在(0，＋∞)上是減函式．而反比例函式f(x)＝在(0，＋∞)上是減函式．故選a.
2．a [解析] 函式f(x)在[3，4)上是增函式，又函式定義域中含有3而沒有4，所以該函式有最小值無最大值，故選a.
3．b [解析] 方法一：由偶函式的定義可排除c，d，又∵y＝cos2x為偶函式，但在(1，2)內不單調遞增，故選b.
方法二：由偶函式定義知y＝log2|x|為偶函式，以2為底的對數函式在(1，2)內單調遞增．
4. [解析] 因為x≥0，當x＝0時，y＝0不是函式的最大值．當x>0時，f(x)＝＝，而＋≥2，當且僅當x＝1時等號成立，所以f(x)≤.
【能力提公升】
5．a [解析] 由題意，結合函式性質可得x>1時f(x)>0，x<1時f(x)<0；x<0或x>4時g(x)<0，00，故f(x)g(x)≥0的解集為．
6．a [解析] 因為函式的週期為2，所以f＝f＝f＝，又函式是奇函式，∴f＝－f＝－，故選a.
7．c [解析] 因為x2＋1≥1，所以0<≤1，令t＝，則1≤t<0，即≤t<1，所以≤y<1.故選c.
8．a [解析] 由題可知f(x)＝ex－1>－1，g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1≤1，若有f(a)＝g(b)，則g(b)∈(－1，1]，即－b2＋4b－3>－1，解得2－9．c [解析] 由題設條件知函式f(x)在r上為減函式，所以x<0時，f1(x)＝ax為減函式，則a∈(0，1)；x≥0時，f(x)＝(a－3)x＋4a中a－3<0，且f(0)＝ (a－3)×0＋4a≤a0，得a≤.綜上知010. [解析] 令f(x)＝t，t∈，問題轉化為求y＝t＋，t∈的值域．
因為y＝t＋在上遞減，在[1，3]上遞增，所以y∈.
11．3 [解析] g(x)＝x＋≥2＝2，當x＝1時等號成立，所以x＝1時，g(x)的最小值為2，則f(x)在x＝1時取最小值2，所以－＝1，＝2.解得p＝－2，q＝3.所以f(x)＝x2－2x＋3，所以f(x)在區間上的最大值為3.
12．a≥2 [解析] y＝＝1－，因為函式在(－2，＋∞)上為增函式，所以a>0，所以得函式的單調增區間為(－∞，－a)，(－a，＋∞)，要使y＝在(－2，＋∞)上為增函式，只需－2≥－a，即a≥2.
13．(－1，1) [解析] 由》0得函式的定義域為(－1，1)，原函式的遞增區間即為函式u(x)＝在(－1，1)上的遞增區間，由於u′(x)＝′＝>0.故函式u(x)＝的遞增區間為(－1，1)，即為原函式的遞增區間．
14．解：f (x)的定義域為r，在定義域內任取x1＜x2，
有f(x1)－f(x2)＝－＝，
其中x1－x2＜0，x＋1＞0，x＋1＞0.
①當x1，x2∈(－1，1)時，即|x1|＜1，|x2|＜1，所以|x1x2|＜1，
則x1x2＜1，1－x1x2＞0，f(x1)－f(x2)＜0，f(x1)＜f(x2)，所以f(x)為增函式．
②當x1，x2∈(－∞，－1]或[1，＋∞)時，
1－x1x2＜0，f(x1)＞f(x2)，所以f(x)為減函式．
綜上所述，f(x)在(－1， 1)上是增函式，在(－∞，－1]和[1，＋∞)上是減函式．
15．解：(1)證明：當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝a－，
設00，x2－x1>0.
∴f(x1)－f(x2)＝a－－a－＝－＝<0.
∴f(x1)(2)由題意a－<2x在(1，＋∞)上恆成立，
設h(x)＝2x＋，則a可證h(x)在(1，＋∞)上單調遞增．
所以a≤h(1)，即a≤3.
所以a的取值範圍為(－∞，3]．
【難點突破】
16．解：(1)f(x)＝＝＝(x－2)＋＋4，
令x－2＝t，由於y＝t＋＋4在(－∞，－2)，(2，＋∞)內單調遞增，
在(－2，0)，(0，2)內單調遞減，∴容易求得f(x)的單調遞增區間為(－∞，0)，(4，＋∞)；單調遞減區間為(0，2)，(2，4)．
(2)∵f(x)在x∈[0，1]上單調遞減，∴其值域為[－1，0]，
即x∈[0，1]時，g(x)∈[－1，0]．
∵g(0)＝0為最大值，∴最小值只能為g(1)或g(a)，
若g(1)＝－1，則a＝1；
若g(a)＝－1，則a＝1.
綜上得a＝1.
函式的單調性與最值
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單調性與最值
一 選擇題 1 下列函式中，既是偶函式 又在 0，單調遞增的函式是 a b c d 2 函式y 2x2 a 1 x 3在 1 內遞減，在 1，內遞增，則a的值是 a 1 b 3 c 5 d 1 上單調遞減，那麼實數a的取值範圍是 a 0,1 b 0，cd 1 4 函式y f x 是r上的偶函式，且在...