《運用導數研究函式單調性的基本步驟》發表在《學習報》2010-2011第6期總第1118期第2版 2023年8月6日國內統一刊號cn14-00708/(f) 郵發**：21-79
特級教師王新敞
用傳統作差比較法無法劃分函式的單調區間，只有用導數才行．其理論依據如下：
設函式在某個區間內可導，如果，則為增函式；如果，則為減函式．如果，則為常數．
一般情況下，函式在它的定義區間上不是單調的，對可導函式而言，它的單調遞減和單調遞增的區間分界點應是其導婁數符號正負交替的分界點，即在分界點處，為此，我們可以用使函式導數為0的點來劃分函式的單調區間．
利用導數求函式的單調區間的具體步驟是：①確定的定義域；②計算導數；③求出的根；④用的根將的定義域分成若干個區間，列表考察這若干個區間內的符號，進而確定的單調區間．
例1 求函式的單調區間．
解: 函式的定義域
令得,用分割定義域d,得下表:
的單調增區間是和,單調減區間是(-2,1)．
例2 求函式的單調區間．
解：函式的定義域為，
,令，得．
其中不在定義域內，用分割定義域d，得下表：
的單調增區間是,單調減區間是．
例3 設=x3－3ax2+2bx在x=1處有極小值－1，試求a、b的值，並求出的單調區間.
剖析：由已知x=1處有極小值－1，點（1，－1）在函式f（x）上，得方程組解之可得a、b.
解： =3x2－6ax+2b，由題意知
即解之得a=，b=－.
此時=x3－x2－x，（x）=3x2－2x－1=3（x+）(x－1）.
當》0時，x>1或x<－，
當<0時，－ ∴函式的單調增區間為（－∞，－）和（1，+∞），減區間為（－，1）．
點評：極值點、最值點這些是原函式圖象上常用的點．
例4 已知函式=ax3+3x2－x+1在r上是減函式，求實數a的取值範圍．
分析：在r上為減函式，則導函式在r上恆負．
解：∵函式=ax3+3x2－x+1在r上是減函式，
∴=3ax2+6x－1≤0恆成立．
即 3ax2+6x－1≤0（x∈r）恆成立，
∴解得 a≤－3．
所以使函式=ax3+3x2－x+1在r上是減函式的實數a的取值範圍為．
特別指出，函式在r上為減函式≤0（x∈r）．對於例4中若取時，令=－9x2+6x－1＝0得，容易驗證當或時，都有．這個就不是函式=－3x3+3x2－x+1的極值點！而是稱為「拐點」．
利用導數處理單調性問題，討論的區間是開區間，注意遞增與遞減區間的交界處的導數為0．重視用的根將的定義域分成若干個區間，列表考察這若干個區間內的符號，進而確定的單調區間，盡量避免求解不等式或的運算．
利用導數判斷函式的單調性與最值
基本初等函式求導公式 函式的和 差 積 商的求導法則 設，都可導，則 反函式求導法則 若函式在某區間內可導 單調且，則它的反函式在對應區間內也可導，且 或復合函式求導法則 設，而且及都可導，則復合函式的導數為 或一 利用導數判斷函式的單調性 1 如果在區間內，則在此區間內是單調遞增的 2 如果在區間...
函式的單調性與最值
1 函式的單調性 1 單調函式的定義 2 單調區間的定義 如果函式y f x 在區間d上是增函式或減函式，那麼就說函式y f x 在這一區間具有 嚴格的 單調性，區間d叫做y f x 的單調區間 2 函式的最值 思考辨析 判斷下面結論是否正確 請在括號中打 或 1 在增函式與減函式的定義中，可以把 ...
函式的單調性與最值
1 函式的單調性 1 單調函式的定義 2,單調性性質。點一函式單調性的判定及證明 1.判斷函式的單調性並證明你的結論 2.已知a 0，函式f x x x 0 證明函式f x 在 0，上是減函式，在 上是增函式 練習 下列函式中，在上單調遞增的是 a b c d3.已知函式 1 作出其圖象 2 由圖象...