主動成長
夯基達標
1.已知=x2+2xf′(1)，則f′(0)等於（ ）
a.0b.-4
c.-2
d.2解析： =2x+2f′(1)，可令x=1，則f′(1)=-2，∴f′(0)=-4.
答案：b
2.設在(a,b)內可導,則＜0是在(a,b)內單調遞減的條件（ ）
a.充分不必要
b.必要不充分
c.充要
d.既不充分也不必要
答案：a
3.已知=ax3+bx2+cx+d(a＞0)為增函式,則（ ）
解析： =3ax2+2bx+c＞0恆成立.因為a＞0，
則δ=4b2-4·3ac＜0，即b2-3ac＜0.
答案：d
4.函式y=xcosx-sinx在下面哪個區間內是增函式（ ）
a.(,)
b.(π,2π)
c.(,)
d.(2π,3π)
解法一（直接法）：y′=-xsinx，
令y′＞0，則x＞0時，sinx＜0，
∴x∈（2kπ+π，2kπ+2π）（k＞0）；
x＜0時，sinx＞0，則x∈（2kπ，（2k+1）π）（k＜0），結合題目知應選b.
解法二（排除法）：y′=-xsinx，若x∈（，）時，sinx正負不確定，排除a；
若x∈（π，2π），sinx＜0，y′＞0，函式y=xcosx-sinx在（π，2π）上為增函式，故選b.
答案：b
5.若=-x2+2ax與=在區間［1,2］上都是減函式，則a的取值範圍是（ ）
a.(-1,0)∪(0,1)
b.(-1,0)∪(0,1］
c.(0,1)
d.(0,1］
解法一（直接法）：=， =-x2+2ax的對稱軸是x=a，要在［1，2］上為減函式，則有a≤1.再由條件知=＜0，∴a＞0.
綜上，0＜a≤1，故選d.
解法二（排除法）：若a=1， =-x2=2x， =，易知與在［1，2］上為減函式，排除a、c，
又若a=-， =，在［1，2］上為增函式，排除b，故選d.
答案：d
在(0,5)上是（ ）
a.單調增函式
b.單調減函式
c.在(0,)上是遞減函式,在(,5)上是遞增函式
d.在(0,)上是遞增函式,在(,5)上是遞減函式
解析：y′=lnx+x·=1+lnx;令y′＞0,
∴x＞,∴y=xlnx在(,5)上為增函式.
同理可求在(0,)上為減函式.
答案：c
7.若函式=x3+x2+mx+1是r上的單調遞增函式,則m的取值範圍是 .
解析： =3x2+2x+m.
∵在r上是單調遞增函式，
∴＞0在r上恆成立，
即3x2+2x+m＞0.
由δ=4-4×3m＜0，得m＞.
答案：m＞
8.(2006河北石家莊二模，3)若函式=x3-mx2+m-2的單調減區間是（0，3），則m
解析： =3x2-2mx，
∵的遞減區間是（0，3），
∴0，3是3x2-2mx=0的根，
∴0+3=，∴m=.
答案：9.已知曲線y=x3+3x2+6x-10,點p(x,y)在該曲線上移動,過p的切線設為l,
(1)求證:此函式在r上單調遞增;
(2)求l的斜率的範圍.
（1）證明：y′=3x2+6x+6=3（x2+2x+1）+3=3（x+1）2+3＞0恆成立.所以此函式在r上遞增.
（2）解：由（1）知=3（x+1）2+3≥3，所以l的斜率的範圍是k≥3.
10.(2004全國高考ⅱ，文19)已知函式=ax3+3x2-x+1在r上是減函式，求a的取值範圍.
解： =3ax2+6x-1.
(1)當＜0(x∈r)時，是減函式.
3ax2+6x-1＜0(x∈r) a＜0且δ=36+12a＜0a＜-3.
所以，當a＜-3時，由＜0，知(x∈r)是減函式.
（2）當a=-3時， =-3x3+3x2-x+1=-3(x-)3+,
由函式y=x3在r上的單調性，可知當a=-3時， (x∈r)是減函式.
（3）當a＞-3時,在r上存在乙個區間，其上有＞0，
所以，當a＞-3時，函式(x∈r)不是減函式.
綜上，所求a的取值範圍是（-∞，-3］.
走近高考
11.(2004湖南高考，理12)設、分別是定義在r上的奇函式和偶函式.當x＜0時， +＞0，且g（-3）=0.則不等式＜0的解集是（ ）
a.（-3，0）∩（3，+∞）
b.（-3，0）∪（0，3）
c.（-∞，-3）∪（3，+∞）
d.（-∞，-3）∪（0，3）
解析：設=，易知為奇函式.由x＜0時，＞0且g（-3）=0知在（-∞，0）和（0，+∞）上為增函式且過（±3，0）點.
根據對稱性知=＜0的解集為（-∞，-3）∪（0，3）.
∴選d.
答案：d
點評：本題借助於導數來研究函式的單調性，再利用單調性、奇偶性結合圖形加以解決.
12.(2005江西高考，理7)已知函式y=的圖象如右圖所示［其中是函式的導函式］.下面四個圖象中y=的圖象大致是（ ）
解析：考查x＞1時，易得＞0，
∴x＞1時，單調遞增.
∴只能c項成立.
答案：c
13.(2006安徽高考，文20)設函式=x3+bx2+cx（x∈r），已知=-是奇函式.
（1）求b、c的值；
（2）求的單調區間.
解析：（1）∵=x3+bx2+cx，
∴=3x2+2bx+c.
從而=-=x3+bx2+cx-（3x2+2bx+c）=x3+（b-3）x2+（c-2b）x-c是乙個奇函式，
所以g（0）=0得c=0，由奇函式定義得b=3.
（2）由（1）知=x3-6x，從而=3x2-6，由此可知，
（-∞，-）和（，+∞）是函式的單調遞增區間；
（-，）是函式的單調遞減區間.
14.(2006山東高考，文17)設函式=2x3-3（a-1）x2+1，其中a≥1，求的單調區間.
解：由已知得=6x［x-(a-1)］,
令=0,
解得x1=0,x2=a-1.
當a=1時, =6x2,在(-∞,+∞)上單調遞增.
當a>1時, =6x［x-(a-1)］.
,隨x的變化情況如下表:
從上表可知,函式在(-∞,0)上單調遞增;在(0,a-1)上單調遞減;在(a-1,+∞)上單調遞增.
《函式的單調性與導數》教學設計
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1 1 3函式的單調性與導數 一
班級姓名學號 一 學習目標 1 能夠通過函式圖象說明函式的單調性與導數符號之間的關係 2 能通過求導判斷函式的單調性並求出單調區間 3 能夠利用導數解決含有引數的函式的單調性的討論問題 重點 理解函式的單調性與導數符號之間的關係，並會通過求導判斷函式的單調性 難點 利用導數解決含有引數的函式的單調性...