基本初等函式求導公式
函式的和、差、積、商的求導法則
設，都可導，則
反函式求導法則
若函式在某區間內可導、單調且，則它的反函式在對應區間內也可導，且
或復合函式求導法則
設，而且及都可導，則復合函式的導數為
或一、 利用導數判斷函式的單調性
（1）如果在區間內，，則在此區間內是單調遞增的．
（2）如果在區間內，，則在此區間內是單調遞減的．
二、 利用導數研究函式的極值
已知函式，設是定義域內任一點，如果對附近的所有點，都有，則稱函式在點處取極大值，記作．並把稱為函式的乙個極大值點．
如果在附近都有，則稱函式在點處取極小值，記作．並把稱為函式的乙個極小值點．
極大值與極小值統稱為極值．極大值點與極小值點統稱為極值點．
三、 主要方法：
1．求函式的極值的方法：
第1步求導數；
第2步求方程的所有實數根；
第步考察在每個根附近，從左到右，導函式的符號如何變化．如果的符號由正變負，則是極大值；如果由負變正，則是極小值．如果在的根的左右側，的符號不變，則不是極值．
2．函式的最大（小）值是函式在指定區間的最大（小）的值．
求函式最大（小）值的方法：
第1步求在指定區間內所有使的點；
第2步計算函式在區間內使的所有點和區間端點的函式值，其中最大的為最大值，最小的為最小值．
例題考例1.求函式y=x2(1－x)3的單調區間.
思路分析：這是乙個不含引數的高次多項式函式，按照利用導數求函式的單調區間的步驟進行。
解：y′=［x2(1－x)3］′=2x(1－x)3+x2·3(1－x)2·(－1)
=x(1－x)2［2(1－x)－3x］=x(1－x)2·(2－5x)
令x(1－x)2(2－5x)＞0，解得0＜x＜.
∴y=x2(1－x)3的單調增區間是(0，)
令x(1－x)2(2－5x)＜0，解得x＜0或x＞且x≠1.
∵為拐點，
∴y=x2(1－x)3的單調減區間是(－∞，0)，(，+∞)
其函式的大致影象如下圖：
錦囊妙計：本題中，有乙個特殊之處，當x=1時,f』(1)=0,但在x=1鄰近的左右兩側的導數值同號（均為負），因此該函式的乙個單調遞減區間是，而1。
舉一反三：
1.函式的單調遞減區間是
a． b． c． d．
答案：c
2.(05年廣東高考題)函式是減函式的區間為( )
答案：d
解析：考例2 ．（06山東卷）設函式f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a--1，求f(x)的單調區間。
解：由已知得函式的定義域為，且
（1）當時，函式在上單調遞減，
（2）當時，由解得
、隨的變化情況如下表
從上表可知
當時，函式在上單調遞減.
當時，函式在上單調遞增.
綜上所述：
當時，函式在上單調遞減.
當時，函式在上單調遞減，函式在上單調遞增.
錦囊妙計:求含字母引數的函式的單調區間時要注意對字母引數進行分類討論.
舉一反三： （06山東卷）設函式f(x)=
(ⅰ)求f(x)的單調區間；
(ⅱ) 討論f(x)的極值.
解：由已知得 ，
令，解得 .
（ⅰ）當時，，在上單調遞增
當時，，隨的變化情況如下表：
從上表可知，函式在上單調遞增；在上單調遞減；在上單調遞增.
（ⅱ）由（ⅰ）知，
當時，函式沒有極值.
當時，函式在處取得極大值，在處取得極小值.
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單調性與最值
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