1．函式的單調性
(1)單調函式的定義
(2)單調區間的定義
如果函式y＝f(x)在區間d上是增函式或減函式，那麼就說函式y＝f(x)在這一區間具有(嚴格的)單調性，區間d叫做y＝f(x)的單調區間．
2．函式的最值
【思考辨析】
判斷下面結論是否正確(請在括號中打「√」或「×」)
(1)在增函式與減函式的定義中，可以把「任意兩個自變數」改為「存在兩個自變數」．( × )
(2)對於函式f(x)，x∈d，若x1，x2∈d且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，則函式f(x)在d上是增函式．( √ )
(3)函式y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函式，則函式的單調遞增區間是[1
(4)函式y＝的單調遞減區間是(－∞，0)∪(0
(5)所有的單調函式都有最值．( × )
(6)對於函式y＝f(x)，若f(1)1．(2014·北京)下列函式中，在區間(0，＋∞)上為增函式的是( )
a．y＝ b．y＝(x－1)2
c．y＝2－x d．y＝log0.5(x＋1)
答案 a
解析 a項，函式y＝在[－1，＋∞)上為增函式，所以函式在(0，＋∞)上為增函式，故正確；b項，函式y＝(x－1)2在(－∞，1)上為減函式，在[1，＋∞)上為增函式，故錯誤；c項，函式y＝2－x＝()x在r上為減函式，故錯誤；d項，函式y＝log0.5(x＋1)在(－1，＋∞)上為減函式，故錯誤．
2．若函式f(x)＝|2x＋a|的單調遞增區間是[3，＋∞)，則a的值為( )
a．－2 b．2 c．－6 d．6
答案 c
解析由圖象易知函式f(x)＝|2x＋a|的單調增區間是[－，＋∞)，令－＝3，∴a＝－6.
3．若函式y＝ax與y＝－在(0，＋∞)上都是減函式，則y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是( )
a．增函式 b．減函式
c．先增後減 d．先減後增
答案 b
解析由y＝ax在(0，＋∞)上是減函式，知a<0；
由y＝－在(0，＋∞)上是減函式，知b<0.
∴y＝ax2＋bx的對稱軸x＝－<0，
又∵y＝ax2＋bx的開口向下，
∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是減函式．故選b.
4．(教材改編)已知函式f(x)＝，x∈[2,6]，則f(x)的最大值為________，最小值為________．
答案 2
解析可判斷函式f(x)＝在[2,6]上為減函式，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝.
5．(教材改編)已知函式f(x)＝x2－2ax－3在區間[1,2]上具有單調性，則實數a的取值範圍為
答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)
解析函式f(x)＝x2－2ax－3的圖象開口向上，對稱軸為直線x＝a，畫出草圖如圖所示．
由圖象可知函式在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有單調性，因此要使函式f(x)在區間[1,2]上具有單調性，只需a≤1或a≥2，從而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．
題型一確定函式的單調性(區間)
命題點1 給出具體解析式的函式的單調性
例1 (1)下列函式中，在區間(0，＋∞)上為增函式的是( )
a．y＝ln(x＋2) b．y＝－
c．y＝()x d．y＝x＋
(2)函式f(x)＝log (x2－4)的單調遞增區間是( )
a．(0b．(－∞，0)
c．(2d．(－∞，－2)
(3)y＝－x2＋2|x|＋3的單調增區間為________．
答案 (1)a (2)d (3)(－∞，－1]，[0,1]
解析 (1)y＝ln(x＋2)的增區間為(－2，＋∞)，
∴在區間(0，＋∞)上為增函式．
(2)因為y＝logt在定義域上是減函式，所以求原函式的單調遞增區間，即求函式t＝x2－4的單調遞減區間，結合函式的定義域，可知所求區間為(－∞，－2)．
(3)由題意知，當x≥0時，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；當x<0時，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，
二次函式的圖象如圖．
由圖象可知，函式y＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函式.
命題點2 解析式含參函式的單調性
例2 試討論函式f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的單調性．
解設－1f(x)＝a＝a，
f(x1)－f(x2)＝a－a
＝，由於－1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
故當a>0時，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
函式f(x)在(－1,1)上遞減；
當a<0時，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)函式f(x)在(－1,1)上遞增．
綜上，當a>0時，f(x)在(－1,1)上單調遞減；當a<0時，f(x)在(－1,1)上單調遞增．
引申**
若本題中的函式變為f(x)＝(a>0)，則f(x)在(－1,1)上的單調性如何？
解設－1則f(x1)－f(x2)＝－
＝＝∵－1∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x－1)(x－1)>0.
又∵a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，
∴函式在(－1,1)上為減函式．
思維昇華確定函式單調性的方法：(1)定義法和導數法，證明函式單調性只能用定義法和導數法；(2)復合函式法，復合函式單調性的規律是「同增異減」；(3)圖象法，圖象不連續的單調區間不能用「∪」連線．
已知a>0，函式f(x)＝x＋(x>0)，證明：函式f(x)在(0， ]上是減函式，在[，＋∞)上是增函式．
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