函式的單調性

【教學目標】

1．使學生從形與數兩方面理解函式單調性的概念，初步掌握利用函式圖象和單調性定義判斷、證明函式單調性的方法．

2．通過對函式單調性定義的**，滲透數形結合數學思想方法，培養學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函式單調性的證明，提高學生的推理論證能力．

3．通過知識的**過程培養學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學生經歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程．

【教學重點】函式單調性的概念、判斷及證明．

【教學難點】歸納抽象函式單調性的定義以及根據定義證明函式的單調性．

【教學方法】教師啟發講授，學生**學習．

【教學手段】計算機、投影儀．

【教學過程】

一、創設情境，引入課題

課前布置任務：

(1) 由於某種原因，2023年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.

(2) 通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況.

課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事.

下圖是北京市今年8月8日一天24小時內氣溫隨時間變化的曲線圖.

引導學生識圖，捕捉資訊，啟發學生思考．

問題：觀察圖形，能得到什麼資訊？

預案：(1)當天的最高溫度、最低溫度以及何時達到；(2)在某時刻的溫度；(3)某些時段溫度公升高，某些時段溫度降低.

在生活中，我們關心很多資料的變化規律，了解這些資料的變化規律，對我們的生活是很有幫助的．

問題：還能舉出生活中其他的資料變化情況嗎？

預案：水位高低、燃油**、****等．

歸納：用函式觀點看，其實就是隨著自變數的變化，函式值是變大還是變小．

〖設計意圖〗由生活情境引入新課，激發興趣．

二、歸納探索，形成概念

對於自變數變化時，函式值是變大還是變小，初中同學們就有了一定的認識，但是沒有嚴格的定義，今天我們的任務首先就是建立函式單調性的嚴格定義.

1．借助圖象，直觀感知

問題1：分別作出函式的圖象，並且觀察自變數變化時，函式值有什麼變化規律？

預案：(1)函式在整個定義域內 y隨x的增大而增大；函式在整個定義域內 y隨x的增大而減小．

(2)函式在上 y隨x的增大而增大，在上y隨x的增大而減小．

(3)函式在上 y隨x的增大而減小，在上y隨x的增大而減小．

引導學生進行分類描述 (增函式、減函式)．同時明確函式的單調性是對定義域內某個區間而言的，是函式的區域性性質．

問題2：能不能根據自己的理解說說什麼是增函式、減函式?

預案：如果函式在某個區間上隨自變數x的增大，y也越來越大，我們說函式在該區間上為增函式；如果函式在某個區間上隨自變數x的增大，y越來越小，我們說函式在該區間上為減函式．

教師指出：這種認識是從圖象的角度得到的，是對函式單調性的直觀，描述性的認識．

〖設計意圖〗從圖象直觀感知函式單調性，完成對函式單調性的第一次認識．

2．**規律，理性認識

問題1：下圖是函式的圖象,能說出這個函式分別在哪個區間為增函式和減函式嗎？

學生的困難是難以確定分界點的確切位置．

通過討論，使學生感受到用函式圖象判斷函式單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究．

〖設計意圖〗使學生體會到用數量大小關係嚴格表述函式單調性的必要性．

問題2：如何從解析式的角度說明在為增函式？

預案： (1) 在給定區間內取兩個數，例如1和2，因為12<22,所以在為增函式．

(2) 仿(1)，取很多組驗證均滿足，所以在為增函式．

(3) 任取,因為,即，所以在為增函式．

對於學生錯誤的回答，引導學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析,使學生認識到問題的根源在於自變數不可能被窮舉，從而引導學生在給定的區間內任意取兩個自變數．

〖設計意圖〗把對單調性的認識由感性上公升到理性認識的高度,完成對概念的第二次認識．事實上也給出了證明單調性的方法，為證明單調性做好鋪墊.

3．抽象思維，形成概念

問題：你能用準確的數學符號語言表述出增函式的定義嗎?

師生共同**，得出增函式嚴格的定義，然後學生模擬得出減函式的定義．

(1)板書定義

(2)鞏固概念

判斷題：

①．②若函式．

③若函式在區間和(2,3)上均為增函式，則函式在區間(1,3)上為增函式．

④因為函式在區間上都是減函式，所以在上是減函式.

通過判斷題，強調三點：

①單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性．

②對於某個具體函式的單調區間，可以是整個定義域(如一次函式)，可以是定義域內某個區間(如二次函式)，也可以根本不單調(如常函式)．

③函式在定義域內的兩個區間a,b上都是增（或減）函式，一般不能認為函式在上是增（或減）函式．

思考：如何說明乙個函式在某個區間上不是單調函式?

〖設計意圖〗讓學生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學生對定義的理解，完成對概念的第三次認識.

三、掌握證法，適當延展

例證明函式在上是增函式．

1．分析解決問題針對學生可能出現的問題，組織學生討論、交流．

證明：任取, 　　　　　　　設元

求差變形　　,斷號

∴∴即∴函式在上是增函式．　　　　　定論

2．歸納解題步驟

引導學生歸納證明函式單調性的步驟：設元、作差、變形、斷號、定論．

練習：證明函式在上是增函式．

問題：要證明函式在區間上是增函式，除了用定義來證，如果可以證得對任意的，且有可以嗎?

引導學生分析這種敘述與定義的等價性．讓學生嘗試用這種等價形式證明函式在上是增函式．

〖設計意圖〗初步掌握根據定義證明函式單調性的方法和步驟．等價形式進一步發展可以得到導數法，為用導數方法研究函式單調性埋下伏筆．

四、歸納小結，提高認識

學生交流在本節課學習中的體會、收穫，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結．

1．小結

(1) 概念**過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性．

(2) 證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、定論．

(3) 數學思想方法和思維方法：數形結合，等價轉化，模擬等．

2．作業

書面作業：課本第60頁習題2.3 第4，5，6題．

課後**：

(1) 證明：函式在區間上是增函式的充要條件是對任意的，且有

(2) 研究函式的單調性，並結合描點法畫出函式的草圖．

《函式的單調性》教學設計說明

一、教學內容的分析

函式的單調性是學生在了解函式概念後學習的函式的第乙個性質，是函式學習中第乙個用數學符號語言刻畫的概念，為進一步學習函式其它性質提供了方法依據．

對於函式單調性，學生的認知困難主要在兩個方面：（1）要求用準確的數學符號語言去刻畫圖象的上公升與下降，這種由形到數的翻譯，從直觀到抽象的轉變對高一的學生是比較困難的；（2）單調性的證明是學生在函式內容中首次接觸到的代數論證內容，而學生在代數方面的推理論證能力是比較薄弱的．根據以上的分析和教學大綱的要求，確定了本節課的重點和難點．

二、教學目標的確定

根據本課教材的特點、教學大綱對本節課的教學要求以及學生的認知水平，從三個不同的方面確定了教學目標，重視單調性概念的形成過程和對概念本質的認識；強調判斷、證明函式單調性的方法的落實以及數形結合思想的滲透；突出語言表達能力、推理論證能力的培養和良好思維習慣的養成．

三、教學方法和教學手段的選擇

本節課是函式單調性的起始課，採用教師啟發講授，學生**學習的教學方法，通過創設情境，引導**，師生交流，最終形成概念，獲得方法．本節課使用了多**投影和計算機來輔助教學，目的是充分發揮其快捷、生動、形象的特點，為學生提供直觀感性的材料，有助於學生對問題的理解和認識．

四、教學過程的設計

為達到本節課的教學目標，突出重點，突破難點，教學上採取了以下的措施：

（1）在探索概念階段, 讓學生經歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程，完成對單調性定義的三次認識,使得學生對概念的認識不斷深入．

（2）在應用概念階段,通過對證明過程的分析，幫助學生掌握用定義證明函式單調性的方法和步驟．

（3）考慮到我校學生數學基礎較好、思維較為活躍的特點，對判斷方法進行適當的延展，加深對定義的理解，同時也為用導數研究單調性埋下伏筆．

函式的單調性

函式的單調性

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函式的單調性

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