山西忻州五寨一中攝愛忠
復合函式定義：
1. 設定義域為ａ，的值域為ｂ，若，則關於的函式叫做函式與的復合函式，叫中間變數．
[, , , , ]
復合函式的單調性：同增異減.
2.3.求解復合函式的單調性的步驟如下：
(1)求復合函式定義域；
(2)將復合函式分解為若干個常見函式(一次、二次、冪、指、對函式)；
(3)判斷每個常見函式的單調性；
(4)將中間變數的取值範圍轉化為自變數的取值範圍；
(5)求出復合函式的單調性。
題型1：內外函式都只有一種單調性的複合型.
例題1：
◇已知函式y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的減函式，則a的取值範圍是( )
(a).(0,1b).(1,2c).(0,2d). 2，+∞)
解：設y= logau，u=2-ax，∵a是底數，所以a>0，
∵ 函式y=loga u在u∈[0,1]上是減函式，而u=2-ax在區間x∈[0,1]上是減函式，
∴ y= logau是u∈(0, +∞)上的增函式，故a>1，還要使2-ax>0在區間上總成立，
令g(x)= 2-ax，由{ ，解得a<2，∴1 變式訓練：
◇ 已知函式，求其單調區間.
【分析】：由，得，即.
而函式在上是增函式，函式在上是減函式，
故函式在上是減函式.
題型2：外函式有一種單調性內函式有兩種單調性的複合型.
例題2：
◇求函式y=log0.5(x2+4x+3)的單調區間.
解：令y= log0.5u，u= x2+4x+3，由x2+4x+3>0知函式的定義域為，
因y= log0.5u在u∈(0,+∞)上是減函式，而u= x2+4x+4在x∈(-∞，-3)上是減函式，
在(-1，+ ∞)上是增函式，根據復合規律知，
函式y=log0.5(x2+4x+4) 在x∈(-∞，-3)上是增函式；在x∈(-1，+ ∞)上是減函式.
變式訓練：
◇討論函式的單調性。
解：函式定義域為r. 令u=x2-4x+3，y=0.8u。
指數函式在u∈(-∞，+∞)上是減函式，
u=x2-4x+3在(-∞，2]上是減函式，在[2，+∞)上是增函式，
∴ 函式在(-∞，2]上是增函式，在[2，+∞)上是減函式。
這裡沒有第四步，因為中間變數允許的取值範圍是r，無需轉化為自變數的取值範圍。
題型3：外函式有兩種單調性內函式有一種單調性的複合型.
例題3：
◇ 函式y=2sin(-2x)的單調遞增區間是( )
(a). (b). (c). (d).
解：令y=sinu，u= -2x，∵u= -2x 是r上的減函式，而y=sinu在u ∈[2kπ+，2kπ+]
(k∈z)上單調遞減，
根據函式單調性的復合規律，令2kπ+≤-2x≤2kπ+ 得:
當k=0時， ， 故選(a) .
例題4：
◇討論函式y=(log2x)2+log2x的單調性.
解：顯然函式定義域為(0，+∞). 令 u=log2x，y=u2+u
u=log2x在(0，+∞)上是增函式，
y=u2+u在(-∞，]上是減函式，在[，+∞)上是增函式
【注意】:(-∞，]及[，+∞)是u的取值範圍.
令，則0＜x≤，
(u≥log2x≥x≥)
所以y=(log2x)2+log2x在(0，]上是減函式，在[，+∞)上是增函式。
用數軸標單調區間如下：
①求復合函式的定義域；②求內函式在定義域內的單調區間；③求外函式的單調
區間；④求外函式對內函式變數所對應的單調區間；⑤在數軸上標出②④按「同增異減」寫出復合函式的單調區間.
變式訓練：
◇求函式的單調區間．
【解析】（1）此函式的定義域：；
（2）此函式是由函式復合所得；
（3）內層函式的單調區間：函式在單調遞減；
（4）外層函式的單調區間：函式在單調遞減，單調遞增；
（5）根據復合函式的單調性規律，寫出復合函式的單調區間：函式在單調遞增；在單調遞減．
【評注】：給出復合函式的單調區間，必須將外層函式中的調整為復合函式的自變數等價的範圍，必須將外層函式中的調整為復合函式的自變數等價的範圍.
函式單調性錯例剖析
函式的單調性是函式基本性質之一，考試大綱 對本性質作了重要的要求，它的應用非常廣泛，但同學們在解題時，往往由於應用不熟練而導致錯誤，現舉幾例說明。一 忽視單調性 例1 已知函式f x x2 x 1，x 1，求f x 的最大值和最小值。錯解 f 1 1 1 f 3 2 1 0，f x 的最大值和最小值...
第7講函式的單調性
知識框架 1 函式單調性的概念 1 增函式 一般地，設函式的定義域為，如果對於定義域內的某個區間d內的任意兩個自變數，當時，都有，那麼就說在區間d上是增函式，如圖1 2 減函式 一般地，設函式的定義域為，如果對於定義域內的某個區間d內的任意兩個自變數，當時，都有，那麼就說在區間d上是減函式，如圖2....
函式的單調性
知識點 理解增函式 減函式 單調區間 單調性等概念，掌握增 減 函式的證明和判別,學會運用函式圖象理解和研究函式的性質。例題 1.指出函式y 3x 2 y x2 4x 3 y 的單調區間及單調性，並給出證明。2.求證函式在區間和上都是單調遞增函式 3.已知定義在區間 0，上的函式f x 滿足f f ...