一、 復合函式的定義
設y=f(u)的定義域為a，u=g(x)的值域為b，若ab，則y關於x函式的y=f［g(x)］叫做函式f與g的復合函式，u叫中間量.
二、 函式的單調區間
1.一次函式y=kx+b(k≠0).
解當k＞0時，(－∞，+∞)是這個函式的單調增區間；當k＜0時，(－∞，+∞)是這個函式的單調減區間.
2.反比例函式y=(k≠0).
解當k＞0時，(－∞，0)和(0，+∞)都是這個函式的單調減區間，當k＜0時，(－∞，0)和(0，+∞)都是這個函式的單調增區間.
3.二次函式y=ax2+bx+c(a≠0).
解當a＞1時(－∞，－)是這個函式的單調減區間，(－，+∞)是它的單調增區間；當a＜1時(－∞，－)是這個函式的單調增區間，(－，+∞)是它的單調減區間；
4.指數函式y=ax(a＞0，a≠1).
解當a＞1時，(－∞，+∞)是這個函式的單調增區間，當0＜a＜1時，(－∞，+∞)是這個函式的單調減區間.
5.對數函式y=logax(a＞0，a≠1).
解當a＞1時，(0，+∞)是這個函式的單調增區間，當0＜a＜1時，(0，+∞)是它的單調減區間.
三、復合函式單調性相關定理
引理1 已知函式y=f［g(x)］.若u=g(x)在區間(a,b)上是增函式，其值域為(c，d)，又函式y=f(u)在區間(c,d)上是增函式，那麼，原復合函式y=f［g(x)］在區間(a,b)上是增函式.
(本引理中的開區間也可以是閉區間或半開半閉區間.)
證明在區間(a,b)內任取兩個數x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.
因為u=g(x)在區間(a,b)上是增函式，所以g(x1)＜g(x2),記u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＜u2,且u1,u2∈(c,d).
因為函式y=f(u)在區間(c,d)上是增函式，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，
故函式y=f［g(x)］在區間(a,b)上是增函式.
引理2 已知函式y=f［g(x)］.若u=g(x)在區間(a,b)上是減函式，其值域為(c，d)，又函式y=f(u)在區間(c,d)上是減函式，那麼，復合函式y=f［g(x)］在區間(a,b)上是增函式.
證明在區間(a,b)內任取兩個數x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.
因為函式u=g(x)在區間(a,b)上是減函式，所以g(x1)＞g(x2),記u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＞u2,且u1,u2∈(c,d).
因為函式y=f(u)在區間(c,d)上是減函式，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，故函式y=f［g(x)］在區間(a,b)上是增函式.
規律：當兩個函式的單調性相同時，其復合函式是增函式；當兩個函式的單調性不同時，其復合函式為減函式。即我們所說的「同增異減」規律。
例1 求下列函式的單調區間：
y=log4(x2－4x+3)
解法一：設 y=log4u,u=x2－4x+3.由
u＞0,
u=x2－4x+3，
解得原復合函式的定義域為x＜1或x＞3.
當x∈(－∞，1)時，u=x2－4x+3為減函式，而y=log4u為增函式，所以(－∞，1)是復合函式的單調減區間；當x∈(3，±∞)時，u=x2－4x+3為增函式y=log4u為增函式，所以，(3，+∞)是復合函式的單調增區間.
解法二：u=x2－4x+3=(x－2)2－1,
x＞3或x＜1，(復合函式定義域)
x＜2 (u減)
解得x＜1.所以x∈(－∞，1)時，函式u單調遞減.
由於y=log4u在定義域內是增函式，所以由引理知：u=(x－2)2－1的單調性與復合函式的單調性一致，所以(－∞，1)是復合函式的單調減區間.下面我們求一下復合函式的單調增區間.
u=x2－4x+3=(x－2)2－1,
x＞3或x＜1，(復合函式定義域)
x＞2 (u增)
解得x＞3.所以(3，+∞)是復合函式的單調增區間.
例2 求下列復合函式的單調區間：
y=log (2x－x2)
解： 設 y=logu,u=2x－x2.由
u＞0u=2x－x2
解得原復合函式的定義域為0＜x＜2.
由於y=logu在定義域(0，+∞)內是減函式，所以，原復合函式的單調性與二次函式u=2x－x2的單調性正好相反.
易知u=2x－x2=－(x－1)2+1在x≤1時單調增.由
0＜x＜2 （復合函式定義域）
x≤1，(u增)
解得0＜x≤1,所以(0，1］是原復合函式的單調減區間.
又u=－(x－1)2+1在x≥1時單調減，由
x＜2， (復合函式定義域)
x≥1， (u減)
解得1≤x＜2,所以1，2)是原復合函式的單調增區間.
例3 求y=的單調區間.
解： 設y=,u=7－6x－x2,由
u≥0,
u=7－6x－x2
解得原復合函式的定義域為－7≤x≤1.
因為y=在定義域［0+∞］內是增函式，所以由引理知，原復合函式的單調性與二次函式u=－x2－6x+7的單調性相同.
易知u=-x2-6x+7=-(x+3)2+16在x≤-3時單調增加。由
-7≤x≤1,（復合函式定義域）
x≤-3,（u增）
解得-7≤x≤-3.所以-7，3是復合函式的單調增區間.
易知u=－x2－6x+7=－(x+3)2+16在x≥－3時單調減，由
7≤x≤1 (復合函式定義域)
x≥－3u減)
解得－3≤x≤1，所以［－3，1］是復合函式的單調減區間.
例4 求y=的單調區間.
解 ： 設y=.由
u∈r,
u=x2－2x－1,
解得原復合函式的定義域為x∈r.
因為y=在定義域r內為減函式，所以由引理知，二次函式u=x2－2x－1的單調性與復合函式的單調性相反.
易知,u=x2－2x－1=(x－1)2－2在x≤1時單調減，由
x∈r, (復合函式定義域)
x≤1， (u減)
解得x≤1.所以(－∞，1］是復合函式的單調增區間.同理［1，+∞)是復合函式的單調減區間.
注意：單調區間必須是定義域的子集，當我們求單調區間時，必須先求出原復合函式的定義域.另外，咱們剛剛學習復合函式的單調性，做這類題目時，一定要按要求做，不要跳步.
練習求下列復合函式的單調區間.
答：(－∞，0)是單調減區間，(2，+∞)是單調增區間.)
答：(－∞，1)是單調增區間，(2，+∞)是單調減區間.)
答：［2，是單調增區間，］［，3］是單調減區間.)
答：(－∞，0)，(0，+∞)均為單調增區間.注意，單調區間之間不可以取並集.)
答(－∞，0)為單調增區間，(0，+∞)為單調減區間)
答(－∞，+∞)為單調減區間.)
答：(0，+∞)為單調減區間.)
答：(0，2)為單調減區間，(2，4)為單調增區間.)
答：(0，3)為單調減區間，(3，6)為單調增區間.)
答(－∞，1)為單調增區間，(1，+∞)為單調減區間.)
復合函式單調性,定義域,單調性證明過程中的化簡
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例1 用函式單調性定義證明 1 為常數 在上是增函式.2 在上是減函式.分析 雖然兩個函式均為含有字母係數的函式，但字母對於函式的單調性並沒有影響，故無須討論.證明 1 設是上的任意兩個實數，且 則 由得 由得 即 於是即 在上是增函式.2 設是上的任意兩個實數，且 則由得 由得 又 於是即 在上是...
復合函式的單調性例講
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