用函式單調性定義證明

例1、用函式單調性定義證明:

(1) 為常數)在上是增函式.

(2) 在上是減函式.

分析：雖然兩個函式均為含有字母係數的函式，但字母對於函式的單調性並沒有影響，故無須討論.

證明: (1)設是上的任意兩個實數，且 ，

則由得 ，由得 ， .

， ， 即 .

於是即 .

在上是增函式.

(2) 設是上的任意兩個實數，且 ，

則由得 ，由得

.又 ， .

於是即 .

在上是減函式.

小結：由(1)中所得結論可知二次函式的單調區間只與對稱軸的位置和開口方向有關，與常數無關.若函式解析式是分式，通常變形時需要通分，將分子、分母都化成乘積的形式便於判斷符號.

根據單調性確定引數

例1、函式在上是減函式，求的取值集合.

分析：首先需要對前面的係數進行分類討論，確定函式的型別，再做進一步研究.

解：當時，函式此時為 ，是常數函式，在上不具備增減性.

當時， 為一次函式，若在上是減函式，則有 ，解得

.故所求的取值集合為 .

小結：此題雖比較簡單，但滲透了對分類討論的認識與使用.

例1、 設函式，其中，求的取值範圍，使函式在區間上是單調函式．

分析：由於函式的單調性不易直接判斷，而且含有字母係數，求解過程中需要討論字母的範圍，因此可以從單調性定義出發，從定義求解釋一種基本的方法，不可忽視．

解： 在上任取，，使得

（ⅰ）當時，因為，，又，

所以，即

所以當時，函式在區間上是單調遞減函式

（ⅱ）當時，在區間上存在兩點，，滿足，，即，所以函式在區間上不是單調函式．

綜上，當且僅當時，函式在區間上是單調遞減函式．

當時，函式在區間上不是單調函式．

小結：求解函式的單調性常用方法是將函式通過換元轉化為熟悉函式，利用函式的性質求解，對於不熟悉的函式通常通過單調性的定義研究，還可以通過圖象觀察．

函式單調性定義證明

例1 用函式單調性定義證明 1 為常數 在上是增函式.2 在上是減函式.分析 雖然兩個函式均為含有字母係數的函式，但字母對於函式的單調性並沒有影響，故無須討論.證明 1 設是上的任意兩個實數，且 則 由得 由得 即 於是即 在上是增函式.2 設是上的任意兩個實數，且 則由得 由得 又 於是即 在上是...

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