一、增長率問題
例1 恆利商廈九月份的銷售額為200萬元，十月份的銷售額下降了20%，商廈從十一月份起加強管理，改善經營，使銷售額穩步上公升，十二月份的銷售額達到了193.6萬元，求這兩個月的平均增長率.
解設這兩個月的平均增長率是x.，則根據題意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，
即(1+x)2＝1.21，解這個方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（捨去）.
答這兩個月的平均增長率是10%.
說明這是一道正增長率問題，對於正的增長率問題，在弄清楚增長的次數和問題中每乙個資料的意義，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.對於負的增長率問題，若經過兩次相等下降後，則有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n.
二、商品定價
例2 益群精品店以每件21元的**購進一批商品，該商品可以自行定價，若每件商品售價a元，則可賣出（350－10a）件，但物價局限定每件商品的利潤不得超過20%，商店計畫要盈利400元，需要進貨多少件？每件商品應定價多少？
解根據題意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，
解這個方程，得a1＝25，a2＝31.
因為21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合題意，捨去.
所以350－10a＝350－10×25＝100（件）.
答需要進貨100件，每件商品應定價25元.
說明商品的定價問題是商品交易中的重要問題，也是各種考試的熱點.
三、儲蓄問題
例3 王紅梅同學將1000元壓歲錢第一次按一年定期含蓄存入「少兒銀行」，到期後將本金和利息取出，並將其中的500元捐給「希望工程」，剩餘的又全部按一年定期存入，這時存款的年利率已下調到第一次存款時年利率的90%，這樣到期後，可得本金和利息共530元，求第一次存款時的年利率.（假設不計利息稅）
解設第一次存款時的年利率為x.
則根據題意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90x2+145x－3＝0.
解這個方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.由於存款利率不能為負數，所以將x2≈－1.63捨去.
答第一次存款的年利率約是2.04%.
說明這裡是按教育儲蓄求解的，應注意不計利息稅.
四、趣味問題
例4 乙個醉漢拿著一根竹竿進城，橫著怎麼也拿不進去，量竹竿長比城門寬4公尺，旁邊乙個醉漢嘲笑他，你沒看城門高嗎，豎著拿就可以進去啦，結果豎著比城門高2公尺，二人沒辦法，只好請教聰明人，聰明人教他們二人沿著門的對角斜著拿，二人一試，不多不少剛好進城，你知道竹竿有多長嗎？
解設渠道的深度為xm，那麼渠底寬為(x+0.1)m，上口寬為(x+0.1+1.4)m.
則根據題意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x＝1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0.
解這個方程，得x1＝－1.8（捨去），x2＝1.
所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5.
答渠道的上口寬2.5m，渠深1m.
說明求解本題開始時好象無從下筆，但只要能仔細地閱讀和口味，就能從中找到等量關係，列出方程求解.
五、古詩問題
例5 讀詩詞解題：（通過列方程式，算出周瑜去世時的年齡）.
大江東去浪淘盡，千古風流數人物；
而立之年督東吳，早逝英年兩位數；
十位恰小個位三，個位平方與壽符；
哪位學子算得快，多少年華屬周瑜？
解設周瑜逝世時的年齡的個位數字為x，則十位數字為x－3.
則根據題意，得x2＝10(x－3)+x，即x2-11x+30＝0，解這個方程，得x＝5或x＝6.當x＝5時，周瑜的年齡25歲，非而立之年，不合題意，捨去；
當x＝6時，周瑜年齡為36歲，完全符合題意.
答周瑜去世的年齡為36歲.
說明本題雖然是一道古詩問題，但它涉及到數字和年齡問題，通過求解同學們應從中認真口味.
六、象棋比賽
例6 象棋比賽中，每個選手都與其他選手恰好比賽一局，每局贏者記2分，輸者記0分.如果平局，兩個選手各記1分，領司有四個同學統計了中全部選手的得分總數，分別是1979，1980，1984，1985.經核實，有一位同學統計無誤.
試計算這次比賽共有多少個選手參加.
解設共有n個選手參加比賽，每個選手都要與(n－1)個選手比賽一局，共計n(n－1)局，但兩個選手的對局從每個選手的角度各自統計了一次，因此實際比賽總局數應為n(n－1)局.由於每局共計2分，所以全部選手得分總共為n(n－1)分.顯然(n－1)與n為相鄰的自然數，容易驗證，相鄰兩自然數乘積的末位數字只能是0，2，6，故總分不可能是1979，1984，1985，因此總分只能是1980，於是由n(n－1)＝1980，得n2－n－1980＝0，解得n1＝45，n2＝－44（捨去）.
答參加比賽的選手共有45人.
說明類似於本題中的象棋比賽的其它體育比賽或互贈賀年片等問題，都可以仿照些方法求解.
七、情景對話
例7 春秋旅行社為吸引市民組團去天水灣風景區旅遊，推出了如圖1對話中收費標準某單位組織員工去天水灣風景區旅遊，共支付給春秋旅行社旅遊費用27000元.請問該單位這次共有多少員工去天水灣風景區旅遊？
解設該單位這次共有x名員工去天水灣風景區旅遊.因為1000×25＝25000＜27000，所以員工人數一定超過25人.
則根據題意，得[1000－20(x－25)]x＝27000.
整理，得x2－75x+1350＝0，解這個方程，得x1＝45，x2＝30.
當x＝45時，1000－20(x－25)＝600＜700，故捨去x1；
當x2＝30時，1000－20(x－25)＝900＞700，符合題意.
答：該單位這次共有30名員工去天水灣風景區旅遊.
說明求解本題要時刻注意對話方塊中的數量關係，求得的解還要注意分類討論，從中找出符合題意的結論.
八、等積變形
例8 將一塊長18公尺，寬15公尺的矩形荒地修建成乙個花園（陰影部分）所佔的面積為原來荒地面積的三分之二.（精確到0.1m）
（1）設計方案1（如圖2）花園中修兩條互相垂直且寬度相等的小路.
（2）設計方案2（如圖3）花園中每個角的扇形都相同.
以上兩種方案是否都能符合條件?若能，請計算出圖2中的小路的寬和圖3中扇形的半徑；若不能符合條件，請說明理由.
解都能.（1）設小路寬為x，則18x+16x－x2＝×18×15，即x2－34x+180＝0，
解這個方程，得x＝，即x≈6.6.
（2）設扇形半徑為r，則3.14r2＝×18×15，即r2≈57.32，所以r≈7.6.
說明等積變形一般都是涉及的是常見圖形的體積，面積公式；其原則是形變積不變；或形變積也變，但重量不變，等等.
九、動態幾何問題
例9 如圖4所示，在△abc中，∠c＝90?/span>，ac＝6cm，bc＝8cm，點p從點a出發沿邊ac向點c以1cm/s的速度移動，點q從c點出發沿cb邊向點b以2cm/s的速度移動.
（1）如果p、q同時出發，幾秒鐘後，可使△pcq的面積為8平方厘公尺？
（2）點p、q在移動過程中，是否存在某一時刻，使得△pcq的面積等於△abc的面積的一半.若存在，求出運動的時間；若不存在，說明理由.
解因為∠c＝90?/span>，所以ab＝＝＝10（cm）.
（1）設xs後，可使△pcq的面積為8cm2，所以ap＝xcm，pc＝(6－x)cm，cq＝2xcm.
則根據題意，得·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x+8＝0，解這個方程，得x1＝2，x2＝4.
所以p、q同時出發，2s或4s後可使△pcq的面積為8cm2.
（2）設點p出發x秒後，△pcq的面積等於△abc面積的一半.
則根據題意，得(6－x)·2x＝××6×8.整理，得x2－6x+12＝0.
由於此方程沒有實數根，所以不存在使△pcq的面積等於abc面積一半的時刻.
說明本題雖然是一道動態型應用題，但它又要運用到行程的知識，求解時必須依據路程＝速度×時間.
十、梯子問題
例10 乙個長為10m的梯子斜靠在牆上，梯子的底端距牆角6m.
（1）若梯子的頂端下滑1m，求梯子的底端水平滑動多少公尺？
（2）若梯子的底端水平向外滑動1m，梯子的頂端滑動多少公尺？
（3）如果梯子頂端向下滑動的距離等於底端向外滑動的距離，那麼滑動的距離是多少公尺？
解依題意，梯子的頂端距牆角＝8（m）.
（1）若梯子頂端下滑1m，則頂端距地面7m.設梯子底端滑動xm.
則根據勾股定理，列方程72+(6+x)2＝102，整理，得x2+12x－15＝0，
解這個方程，得x1≈1.14，x2≈－13.14（捨去），
所以梯子頂端下滑1m，底端水平滑動約1.14m.
（2）當梯子底端水平向外滑動1m時，設梯子頂端向下滑動xm.
則根據勾股定理，列方程(8－x)2+(6+1)2＝100.整理，得x2－16x+13＝0.
解這個方程，得x1≈0.86，x2≈15.14（捨去）.
所以若梯子底端水平向外滑動1m，則頂端下滑約0.86m.
（3）設梯子頂端向下滑動xm時，底端向外也滑動xm.
則根據勾股定理，列方程(8－x)2+(6+x)2＝102，整理，得2x2－4x＝0，
解這個方程，得x1＝0（捨去），x2＝2.
所以梯子頂端向下滑動2m時，底端向外也滑動2m.
說明求解時應注意無論梯子沿牆如何上下滑動，梯子始終與牆上、地面構成直角三角形.
十一、航海問題
例11 如圖5所示，我海軍基地位於a處，在其正南方向200海浬處有一重要目標b，在b的正東方向200海浬處有一重要目標c，小島d恰好位於ac的中點，島上有一補給碼頭；小島f位於bc上且恰好處於小島d的正南方向，一艘**從a出發，經b到c勻速巡航．一艘補給船同時從d出發，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送往**.
（1）小島d和小島f相距多少海浬？
（2）已知**的速度是補給船的2倍，**在由b到c的途中與補給船相遇於e處，那麼相遇時補給船航行了多少海浬？（精確到0.1海浬）
解（1）f位於d的正南方向，則df⊥bc.因為ab⊥bc，d為ac的中點，所以df＝ab＝100海浬，所以，小島d與小島f相距100海浬.
（2）設相遇時補給船航行了x海浬，那麼de＝x海浬，ab+be＝2x海浬，ef＝ab+bc－(ab+be)－cf＝(300－2x)海浬.
一元二次方程
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一 一元二次方程的相關概念 1.整式方程的概念 方程的兩邊都是關於未知數的整式，這樣的方程叫做整式方程。2.一元二次方程的概念 只含有乙個未知數，並且未知數的最高次數是2的整式方程叫做一元二次方程。必須同時滿足的三個條件 方程的兩邊都是關於未知數的整式 只含有乙個未知數 未知數的最高次數是2。3.一...