【學習目標】
1．理解正負數的意義，掌握有理數的概念.
2．理解並會用有理數的加、減、乘、除和乘方五種運算法則進行有理數的混合運算.
3．學會借助數軸來理解絕對值、有理數比較大小等相關知識.
4. 理解科學記數法及近似數的相關概念並能靈活應用；
5. 體會數學知識中體現的一些數學思想.
【知識網路】
【要點梳理】
要點一、有理數的相關概念
1．有理數的分類：
（1）按定義分類
（2）按性質分類：
要點詮釋：（1）用正數、負數表示相反意義的量；
（2）有理數「0」的作用：
2．數軸：規定了原點、正方向和單位長度的直線．
要點詮釋：（1）一切有理數都可以用數軸上的點表示出來，數軸上的點不都表示的是有理數，如．
（2）在數軸上，右邊的點所對應的數總比左邊的點所對應的數大．
3．相反數：只有符號不同的兩個數互稱為相反數，0的相反數是0．
要點詮釋：（1）一對相反數在數軸上對應的點位於原點兩側，並且到原點的距離相等，這兩點是關於原點對稱的．
（2）求任意乙個數的相反數，只要在這個數的前面添上「」號即可．
（3）多重符號的化簡：數字前面「」號的個數若有偶數個時，化簡結果為正，若有奇數個時，化簡結果為負．
4．絕對值：
（1)代數意義：乙個正數的絕對值是它本身；乙個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0． 數a的絕對值記作．
（2)幾何意義：乙個數a的絕對值就是數軸上表示數a的點與原點的距離．
要點二、有理數的運算
1 ．法則：
（1）加法法則：①同號兩數相加，取相同的符號，並把絕對值相加．②絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值．③乙個數同0相加，仍得這個數．
（2）減法法則：減去乙個數，等於加這個數的相反數．即a-b=a+(-b) ．
（3）乘法法則：①兩數相乘，同號得正，異號得負，並把絕對值相乘．②任何數同0相乘，都得0．
（4）除法法則：除以乙個不等於0的數，等於乘這個數的倒數．即a÷b=a·(b≠0) ．
（5）乘方運算的符號法則：①負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數；②正數的任何次冪都是正數，0的任何非零次冪都是0．
(6)有理數的混合運算順序：①先乘方，再乘除，最後加減；②同級運算，從左到右進行；
③如有括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行．
要點詮釋：「奇負偶正」口訣的應用：
（1）多重負號的化簡，這裡奇偶指的是「－」號的個數，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．
（2）有理數乘法，當多個非零因數相乘時，這裡奇偶指的是負因數的個數，正負指結果中積的符號，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．
（3）有理數乘方，這裡奇偶指的是指數，當底數為負數時，指數為奇數，則冪為負；指數為偶數，則冪為正，例如：，．
2．運算律：
（1）交換律: ① 加法交換律:a+b=b+a； ②乘法交換律:ab=ba；
（2）結合律: ①加法結合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法結合律：
（ab）c=a(bc)
（3）分配律：a(b+c)=ab+ac
要點三、有理數的大小比較
比較大小常用的方法有：（1）數軸比較法；（2）法則比較法：正數大於0，0大於負數，正數大於負數；兩個負數，絕對值大的反而小；(3) 作差比較法．（4）作商比較法；（5)倒數比較法．
要點四、科學記數法、近似數及精確度
1.科學記數法：把乙個大於10的數表示成的形式（其中，是正整數），此種記法叫做科學記數法．例如：200 000=．
2.近似數：接近準確數而不等於準確數的數，叫做這個精確數的近似數或近似值.如長江的長約為6300㎞，這裡的6300㎞就是近似數.
要點詮釋：一般採用四捨五入法取近似數，只要看要保留位數的下一位是舍還是入.
3.精確度：乙個近似數四捨五入到哪一位，就稱這個數精確到哪一位，精確到的這一位也叫做這個近似數的精確度.
要點詮釋：
（1）精確度是指近似數與準確數的接近程度.
（2）精確度有兩種形式：①精確到哪一位．②保留幾個有效數字．這兩種的形式的意義不一樣，一般來說精確到哪一位可以表示誤差絕對值的大小，例如精確到公尺，說明結果與實際數相差不超過公尺，而有效數字往往用來比較幾個近似數哪個更精確些.
【典型例題】
型別一、有理數相關概念
1．已知x與y互為相反數，m與n互為倒數，|x+y |+（a-1）2＝0，求a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010的值．
舉一反三：
【變式1】選擇題
（1）已知四種說法：
①|a|=a時，a>0；|a|=-a時， a<0. ②|a|就是a與-a中較大的數.
③|a|就是數軸上a到原點的距離. ④對於任意有理數，-|a|≤a≤|a|.
其中說法正確的個數是
a．1 b．2 c．3 d．4
（2）有四個說法：
①有最小的有理數 ②有絕對值最小的有理數
③有最小的正有理數 ④沒有最大的負有理數
上述說法正確的是（ ）
ab．③④ c．②④ d．①②
（3）已知(-ab)3>0，則
a．ab<0 b．ab>0 c．a>0且b<0 d．a<0且b<0
（4）若|x-1|+|y+3|+|z-5|=0，則(x+1)(y-3)(z+5)的值是（ ）
a．120 b．-15 c．0 d．-120
（5）下列各對算式中，結果相等的是（ ）
a．-a6與(-a)6 b．-a3與|-a|3 c．[(-a)2]3與(-a3)2 d．(ab)3與ab3
【變式2】某市2023年的國民生產總值約為333.9億元，預計2023年比上一年增長10%，表示2023年這個市的國民生產總值應是（精確到0.01）________元.
2. 在下列兩數之間填上適當的不等號：
舉一反三：
【變式】在下列兩數之間填上適當的不等號．
（提示：倒數法較簡便）
型別二、有理數的運算
3．(1)
(2)(4)(5)舉一反三：
【變式】
（1）（2）
4. 先觀察下列各式：；；
；…；，根據以上觀察，計算：
…的值．
舉一反三：
【變式】用簡單方法計算：
型別三、數學思想在本章中的應用
5．（1）數形結合思想：已知有理數a、b在數軸上對應點的位置如圖所示，且|a|＞|b|，求|a|-|a+b|-|b-a|的值．
a．2b+a b．2b-a c．a d．b
（2）分類討論思想：已知a是任一有理數，試比較|a|與-2a的大小．
（3）轉化思想：．
型別四、規律探索
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