撰稿：康紅梅責編：吳婷婷
【學習目標】
1. 了解全等三角形的概念和性質，能夠準確地辨認全等三角形中的對應元素；
2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進行證明，掌握綜合法證明的格式；
3．會作角的平分線，了解角的平分線的性質，能利用三角形全等證明角的平分線的性質， 會利用角的平分線的性質進行證明.
【知識網路】
【要點梳理】
【高畫質課堂：388614 全等三角形單元複習，知識要點】
要點一、全等三角形的判定與性質
要點二、全等三角形的證明思路
要點三、角平分線的性質
1.角的平分線的性質定理
角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.
2.角的平分線的判定定理
角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.
3.三角形的角平分線
三角形角平分線交於一點，且到三邊的距離相等.
4.與角平分線有關的輔助線
在角兩邊擷取相等的線段，構造全等三角形；
在角的平分線上取一點向角的兩邊作垂線段.
要點四、全等三角形證明方法
全等三角形是平面幾何內容的基礎，這是因為全等三角形是研究特殊三角形、四邊形、相似圖形、圓等圖形性質的有力工具，是解決與線段、角相關問題的乙個出發點.運用全等三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關係、角相等、兩直線位置關係等常見的幾何問題.可以適當總結證明方法.
1． 證明線段相等的方法：
(1) 證明兩條線段所在的兩個三角形全等.
(2) 利用角平分線的性質證明角平分線上的點到角兩邊的距離相等.
(3) 等式性質.
2． 證明角相等的方法：
(1) 利用平行線的性質進行證明.
(2) 證明兩個角所在的兩個三角形全等.
(3) 利用角平分線的判定進行證明.
(4) 同角（等角）的餘角（補角）相等.
(5) 對頂角相等.
3． 證明兩條線段的位置關係（平行、垂直）的方法：
可通過證明兩個三角形全等，得到對應角相等，再利用平行線的判定或垂直定義證明.
4． 輔助線的新增:
(1)作公共邊可構造全等三角形；
(2)倍長中線法；
(3)作以角平分線為對稱軸的翻摺變換全等三角形；
(4)利用截長(或補短)法作旋轉變換的全等三角形.
5. 證明三角形全等的思維方法:
（1）直接利用全等三角形判定和證明兩條線段或兩個角相等，需要我們敏捷、快速地發現兩條線段和兩個角所在的兩個三角形及它們全等的條件.
（2）如果要證明相等的兩條線段或兩個角所在的三角形全等的條件不充分時，則應根據圖形的其它性質或先證明其他的兩個三角形全等以補足條件.
（3）如果現有圖形中的任何兩個三角形之間不存在全等關係，此時應添置輔助線，使之出現全等三角形，通過構造出全等三角形來研究平面圖形的性質.
【典型例題】
型別一、巧引輔助線構造全等三角形
(1)．倍長中線法
1、已知，如圖，△abc中，d是bc中點，de⊥df,試判斷be＋cf與ef的大小關係，並證明你的結論.
【思路點撥】因為d是bc的中點，按倍長中線法，倍長過中點的線段df，使dg＝df,證明△edg≌△edf，△fdc≌△gdb，這樣就把be、cf與ef線段轉化到了△beg中，利用兩邊之和大於第三邊可證.
【答案與解析】be＋cf＞ef；
證明：延長fd到g，使dg＝df,鏈結bg、eg
∵d是bc中點
∴bd＝cd
又∵de⊥df
在△edg和△edf中
∴△edg≌△edf（sas）
∴eg＝ef
在△fdc與△gdb中
∴△fdc≌△gdb(sas)
∴cf＝bg
∵bg＋be＞eg
∴be＋cf＞ef
【總結昇華】有中點的時候作輔助線可考慮倍長中線法（或倍長過中點的線段）.
舉一反三：
【變式】已知：如圖所示，ce、cb分別是△abc與△adc的中線，且∠acb＝∠abc．
求證：cd＝2ce．
【答案】
證明： 延長ce至f使ef＝ce，連線bf．
ec為中線，
∴ ae＝be．
在△aec與△bef中，
∴ △aec≌△bef（sas）．
∴ ac＝bf，∠a＝∠fbe．（全等三角形對應邊、角相等）
又∵ ∠acb＝∠abc，∠dbc＝∠acb＋∠a，∠fbc＝∠abc＋∠a．
∴ ac＝ab，∠dbc＝∠fbc．
∴ ab＝bf．
又∵ bc為△adc的中線，
∴ ab＝bd．即bf＝bd．
在△fcb與△dcb中，
∴ △fcb≌△dcb（sas）．
∴ cf＝cd．即cd＝2ce．
(2)．作以角平分線為對稱軸的翻摺變換構造全等三角形
2、已知：如圖所示，在△abc中，∠c＝2∠b，∠1＝∠2．求證：ab＝ac＋cd．
【答案與解析】
證明：在ab上擷取ae＝ac．
在△aed與△acd中，
∴ △aed≌△acd（sas）．
∴ ed＝cd．
∴ ∠aed＝∠c(全等三角形對應邊、角相等)．
又∵ ∠c＝2∠b ∴∠aed＝2∠b．
由圖可知：∠aed＝∠b＋∠edb，
∴ 2∠b＝∠b＋∠edb．
∴ ∠b＝∠edb．
∴ be＝ed．即be＝cd．
∴ ab＝ae＋be＝ac＋cd(等量代換)．
【總結昇華】本題圖形簡單，結論複雜，看似無從下手，結合圖形發現ab＞ac．故用截長補短法．在ab上擷取ae＝ac．這樣ab就變成了ae＋be，而ae＝ac．只需證be＝cd即可．從而把ab＝ac＋cd轉化為證兩線段相等的問題．
舉一反三：
【變式】如圖，ad是的角平分線，h，g分別在ac，ab上，且hd＝bd.
(1)求證：∠b與∠ahd互補；
(2)若∠b＋2∠dga＝180°，請**線段ag與線段ah、hd之間滿足的等量關係，並加以證明.
【答案】
證明：（1）在ab上取一點m, 使得am＝ah, 連線dm.
∵ ∠cad＝∠bad, ad＝ad,
∴ △ahd≌△amd.
∴ hd＝md, ∠ahd＝∠amd.
∵ hd＝db,
∴ db＝ md.
∴ ∠dmb＝∠b.
∵ ∠amd＋∠dmb ＝180,
∴ ∠ahd＋∠b＝180.
即 ∠b與∠ahd互補.
（2）由（1）∠ahd＝∠amd, hd＝md, ∠ahd＋∠b＝180.
∵ ∠b＋2∠dga ＝180,
∴ ∠ahd＝2∠dga.
∴ ∠amd＝2∠dgm.
∵ ∠amd＝∠dgm＋∠gdm.
∴ 2∠dgm＝∠dgm＋∠gdm.
∴ ∠dgm＝∠gdm.
∴ md＝mg
∴ hd＝ mg.
∵ ag＝ am＋mg,
∴ ag＝ ah＋hd
（3）.利用截長(或補短)法作構造全等三角形
3、如圖所示，已知△abc中ab＞ac，ad是∠bac的平分線，m是ad上任意一點，
求證：mb－mc＜ab－ac．
【思路點撥】因為ab＞ac，所以可在ab上擷取線段ae＝ac，這時be＝ab－ac，如果連線em，在△bme中，顯然有mb－me＜be．這表明只要證明me＝mc，則結論成立．
【答案與解析】
證明：因為ab＞ac，則在ab上擷取ae＝ac，連線me．
在△mbe中，mb－me＜be（三角形兩邊之差小於第三邊）．
在△amc和△ame中，
∴ △amc≌△ame（sas）．
∴ mc＝me（全等三角形的對應邊相等）．
又∵ be＝ab－ae，
∴ be＝ab－ac，
∴ mb－mc＜ab－ac．
【總結昇華】充分利用角平分線的對稱性，截長補短是關鍵.
舉一反三：
【變式】如圖，ad是△abc的角平分線，ab＞ac,求證：ab－ac＞bd－dc
【答案】
證明：在ab上擷取ae＝ac,鏈結de
∵ad是△abc的角平分線，
∴∠bad＝∠cad
在△aed與△acd中
∴△aed≌△adc（sas）
∴de＝dc
在△bed中，be＞bd－dc
即ab－ae＞bd－dc
∴ab－ac＞bd－dc
（4）.在角的平分線上取一點向角的兩邊作垂線段
4、如圖所示，已知e為正方形abcd的邊cd的中點，點f在bc上，且∠dae＝∠fae．
求證：af＝ad＋cf．
【思路點撥】四邊形abcd為正方形，則∠d＝90°．而∠dae＝∠fae說明ae為∠fad的平分線，按常規過角平分線上的點作出到角兩邊的距離，而e到ad的距離已有，只需作e到af的距離em即可，由角平分線性質可知me＝de．ae＝ae．rt△ame與rt△ade全等有ad＝am．而題中要證af＝ad＋cf．根據圖知af＝am＋mf．故只需證mf＝fc即可．從而把證af＝ad＋cf轉化為證兩條線段相等的問題．
【答案與解析】
證明： 作me⊥af於m，連線ef．
∵ 四邊形abcd為正方形，
∴ ∠c＝∠d＝∠ema＝90°．
又∵ ∠dae＝∠fae，
∴ ae為∠fad的平分線，
∴ me＝de．
在rt△ame與rt△ade中，
∴ rt△ame≌rt△ade(hl)．
∴ ad＝am(全等三角形對應邊相等)．
又∵ e為cd中點，∴ de＝ec．
∴ me＝ec．
在rt△emf與rt△ecf中，
∴ rt△emf≌rt△ecf(hl)．
∴ mf＝fc(全等三角形對應邊相等)．
由圖可知：af＝am＋mf，
∴ af＝ad＋fc(等量代換)．
【總結昇華】與角平分線有關的輔助線： 在角兩邊擷取相等的線段，構造全等三角形；在角的平分線上取一點向角的兩邊作垂線段.
5、如圖所示，在△abc中，ac=bc，∠acb=90°，d是ac上一點，且ae垂直bd的延長線於e，，求證：bd是∠abc的平分線．
【答案與解析】
證明：延長ae和bc，交於點f，
∵ac⊥bc，be⊥ae，∠ade=∠bdc（對頂角相等），
∴∠ead+∠ade=∠cbd+∠bdc．即∠ead=∠cbd．
在rt△acf和rt△bcd中．
所以rt△acf≌rt△bcd（asa）．
則af=bd（全等三角形對應邊相等）．
∵ae=bd，∴ae=af，
即ae=ef．
在rt△bea和rt△bef中，
則rt△bea≌rt△bef（sas）．
所以∠abe=∠fbe（全等三角形對應角相等），
即bd是∠abc的平分線．
全等三角形全章複習與鞏固 提高 知識講解
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6 全等三角形全章複習與鞏固 基礎 知識講解
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