17《三角形》全章複習與鞏固（提高）知識講解
【學習目標】
1.認識三角形並能用符號語言正確表示三角形，理解並會應用三角形三邊之間的關係.
2.理解三角形的高、中線、角平分線的概念，通過作三角形的三條高、中線、角平分線，提高學生的基本作圖能力，並能運用圖形解決問題．
3.能夠運用三角形內角和定理及三角形的外角性質進行相關的計算，證明問題.
4.通過觀察和實地操作知道三角形具有穩定性，知道四邊形沒有穩定性，了解穩定性與沒有穩定性在生產、生活中的廣泛應用．
5.了解多邊形、多邊形的對角線、正多邊形以及鑲嵌等有關的概念；掌握多邊形內角和及外角和，並能靈活運用公式解決有關問題，體驗並掌握探索、歸納圖形性質的推理方法，進一步培養說理和進行簡單推理的能力.
【知識網路】
【要點梳理】
要點一、三角形的有關概念和性質
1.三角形三邊的關係：
定理：三角形任意兩邊之和大於第三邊；三角形任意兩邊的之差小於第三邊.
要點詮釋：（1）理論依據：兩點之間線段最短.
（2）三邊關係的應用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大於最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值範圍．
2.三角形按「邊」分類：
3.三角形的重要線段：
（1）三角形的高
從三角形的乙個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高．
要點詮釋：三角形的三條高所在的直線相交於一點的位置情況有三種：銳角三角形交點在三角形內；直角三角形交點在直角頂點；鈍角三角形交點在三角形外.
（2）三角形的中線
三角形的乙個頂點與它的對邊中點的連線叫三角形的中線，
要點詮釋：乙個三角形有三條中線，它們交於三角形內一點，叫做三角形的重心．中線把三角形分成面積相等的兩個三角形.
（3）三角形的角平分線
三角形的乙個內角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線.
要點詮釋：乙個三角形有三條角平分線，它們交於三角形內一點，這一點叫做三角形的內心.
要點二、三角形的穩定性
如果三角形的三邊固定，那麼三角形的形狀大小就完全固定了，這個性質叫做三角形的穩定性．
要點詮釋：(1)三角形的形狀固定是指三角形的三個內角不會改變，大小固定指三條邊長不改變．(2)三角形的穩定性在生產和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的結構，它就堅固而穩定；在柵欄門上斜著釘一條(或兩條)木板，構成乙個三角形，就可以使柵欄門不變形．大橋鋼架、輸電線支架都採用三角形結構，也是這個道理．(3)四邊形沒有穩定性，也就是說，四邊形的四條邊長確定後，不能確定它的形狀，它的各個角的大小可以改變．四邊形的不穩定性也有廣泛應用，如活動掛架，伸縮尺．有時我們又要克服四邊形的不穩定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜著釘一根木板，使它不變形．
要點三、三角形的內角和與外角和
1.三角形內角和定理：三角形的內角和為180°．
推論：1.直角三角形的兩個銳角互餘
2.有兩個角互餘的三角形是直角三角形
2.三角形外角性質：
（1）三角形的乙個外角等於與它不相鄰的兩個內角的和．
（2）三角形的乙個外角大於任意乙個與它不相鄰的內角．
3.三角形的外角和： 三角形的外角和等於360°.
要點四、多邊形及有關概念
1. 多邊形的定義：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.
要點詮釋：多邊形通常還以邊數命名，多邊形有n條邊就叫做n邊形．三角形、四邊形都屬於多邊形，其中三角形是邊數最少的多邊形.
2.正多邊形：各個角都相等、各個邊都相等的多邊形叫做正多邊形.如正三角形、正方形、正五邊形等．
要點詮釋：各角相等、各邊也相等是正多邊形的必備條件，二者缺一不可. 如四條邊都相等的四邊形不一定是正方形，四個角都相等的四邊形也不一定是正方形，只有滿足四邊都相等且四個角也都相等的四邊形才是正方形.
3.多邊形的對角線：連線多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.
要點詮釋：(1)從n邊形乙個頂點可以引(n－3)條對角線，將多邊形分成(n－2)個三角形；
(2)n邊形共有條對角線．
要點五、多邊形的內角和及外角和公式
1.內角和公式：n邊形的內角和為(n－2)·180°(n≥3，n是正整數) ．
要點詮釋：（1）一般把多邊形問題轉化為三角形問題來解決；
(2)內角和定理的應用：
①已知多邊形的邊數，求其內角和；
②已知多邊形內角和，求其邊數.
2.多邊形外角和：n邊形的外角和恆等於360°，它與邊數的多少無關.
要點詮釋：(1)外角和公式的應用：
①已知外角度數，求正多邊形邊數；
②已知正多邊形邊數，求外角度數.
(2)多邊形的邊數與內角和、外角和的關係：
①n邊形的內角和等於(n－2)·180°(n≥3，n是正整數)，可見多邊形內角和與邊數n有關，每增加1條邊，內角和增加180°.
【典型例題】
型別一、三角形的三邊關係
1.已知三角形的三邊長分別是3，8，,若的值為偶數，則的值有 ( )．
a．6個 b．5個 c．4個 d．3個
【答案】d
【解析】的取值範圍：，又為偶數，所以的值可以是6, 8, 10，故的值有3個.
【總結昇華】不要忽略「x為偶數」這一條件.
舉一反三：
【變式】三角形的三邊長為2，x-3，4，且都為整數，則共能組成個不同的三角形.當x為時，所組成的三角形周長最大.
【答案】三；8 (由三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊，有4-22.如圖，o是△abc內一點，連線ob和oc．
(1)你能說明ob+oc＜ab+ac的理由嗎?
(2)若ab＝5，ac＝6，bc＝7，你能寫出ob+oc的取值範圍嗎?
【答案與解析】
解：(1)如圖，延長bo交ac於點e，根據三角形的三邊關係可以得到，
在△abe中，ab+ae＞be；
在△eoc中，oe+ec＞oc，
兩不等式相加，得ab+ae+oe+ec＞be+oc．
由圖可知，ae+ec＝ac，be＝ob+oe．
所以ab+ac+oe＞ob+oc+oe，即ob+oc＜ab+ac．
(2)因為ob+oc＞bc，所以ob+oc＞7．
又因為ob+oc＜ab+ac，所以ob+oc＜11，所以7＜ob+oc＜11．
【總結昇華】充分利用三角形三邊關係的性質進行解題．
型別二、三角形中的重要線段
3.在△abc中，ab＝ac，ac邊上的中線bd把△abc的周長分為12cm和15cm兩部分，求三角形的各邊長．
【思路點撥】因為中線bd的端點d是ac邊的中點，所以ad＝cd，造成兩部分不等的原因是bc邊與ab、ac邊不等，故應分類討論．
【答案與解析】
解：如圖(1)，設ab＝x，ad＝cd＝．
(1)若ab+ad＝12，即，所以x＝8，
即ab＝ac＝8，則cd＝4．故bc＝15-4＝11．
此時ab+ac＞bc，所以三邊長為8，8，11．
(2)如圖(2)，若ab+ad＝15，即，所以x＝10．
即ab＝ac＝10，則cd＝5．故bc＝12-5＝7．
顯然此時三角形存在，所以三邊長為10，10，7．
綜上所述此三角形的三邊長分別為8，8，11或10，10，7．
【總結昇華】bd把△abc的周長分為12cm和15cm兩部分，哪部分是12cm，哪部分是15cm，問題中沒有交代，因此，必須進行分類討論．
舉一反三：
【變式】有一塊三角形優良品種試驗田，現引進四個品種進行對比試驗，需將這塊土地分成面積相等的四塊，請你制定出兩種以上的方案供選擇.
【答案】
解：方案1：如圖（1），在bc上取d、e、f，使bd=ed=ef=fc，連線ae、ad、af．
方案2：如圖(2)，分別取ab、bc、ca的中點d、e、f，連線de、ef、df．
方案3：如圖(3)，取ab中點d，連線ad，再取ad的中點e，連線be、ce．
方案4：如圖(4)，在 ab取點 d，使dc＝2bd，連線ad，再取ad的三等分點e、f，連線ce、cf．
型別三、與三角形有關的角
4.在△abc中，∠abc＝∠c，bd是ac邊上的高，∠abd＝30°，則∠c的度數是多少?
【思路點撥】按△abc為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況，分類討論．
【答案與解析】
解：分兩種情況討論：
（1）當△abc為銳角三角形時，如圖所示，在△abd中，
∵ bd是ac邊上的高(已知)，
∴ ∠adb＝90°(垂直定義)．
又∵ ∠abd＝30°(已知)，
∴ ∠a＝180°-∠adb-∠abd＝180°-90°-30°＝60°．
又∵ ∠a+∠abc+∠c＝180°(三角形內角和定理)，
∴ ∠abc+∠c＝120°，
又∵ ∠abc＝∠c，∴ ∠c＝60°．
(2)當△abc為鈍角三角形時，如圖所示．在直角△abd中，
∵ ∠abd＝30°(已知)，所以∠bad＝60°．
∴ ∠bac＝120°．
又∵ ∠bac+∠abc+∠c＝180°(三角形內角和定理)，
∴ ∠abc+∠c＝60°．
∴ ∠c＝30°．
綜上，∠c的度數為60°或30°．
【總結昇華】在解決無圖的幾何題的過程中，只有正確作出圖形才能解決問題．這就要求解答者必須具備根據條件作出圖形的能力；要注意考慮圖形的完整性和其他各種可能性，双解和多解問題也是我們在學習過程中應該注意的乙個重要環節．
舉一反三：
【變式】如圖，ac⊥bc,cd⊥ab,圖中有對互餘的角？有對相等的銳角？
【答案】3,2．
型別四、三角形的穩定性
5. 如圖是一種流行的衣帽架，它是用木條（四長四短）構成的幾個連續的菱形（四條邊都相等），每乙個頂點處都有乙個掛鉤（連在軸上），不僅美觀，而且使用，你知道它能收縮的原因和固定方法嗎？
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