全等三角形全章複習與鞏固
【學習目標】
1. 了解全等三角形的概念和性質，能夠準確地辨認全等三角形中的對應元素；
2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進行證明，掌握綜合法證明的格式；
3．會作角的平分線，了解角的平分線的性質，能利用三角形全等證明角的平分線的性質， 會利用角的平分線的性質進行證明.
【知識網路】
【要點梳理】
要點一、全等三角形的判定與性質
要點二、全等三角形的證明思路
要點三、角平分線的性質
1.角的平分線的性質定理
角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.
2.角的平分線的判定定理
角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.
3.三角形的角平分線
三角形角平分線交於一點，且到三邊的距離相等.
4.與角平分線有關的輔助線
在角兩邊擷取相等的線段，構造全等三角形；
在角的平分線上取一點向角的兩邊作垂線段.
要點四、全等三角形證明方法
全等三角形是平面幾何內容的基礎，這是因為全等三角形是研究特殊三角形、四邊形、相似圖形、圓等圖形性質的有力工具，是解決與線段、角相關問題的乙個出發點.運用全等三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關係、角相等、兩直線位置關係等常見的幾何問題.可以適當總結證明方法.
1． 證明線段相等的方法：
(1) 證明兩條線段所在的兩個三角形全等.
(2) 利用角平分線的性質證明角平分線上的點到角兩邊的距離相等.
(3) 等式性質.
2． 證明角相等的方法：
(1) 利用平行線的性質進行證明.
(2) 證明兩個角所在的兩個三角形全等.
(3) 利用角平分線的判定進行證明.
(4) 同角（等角）的餘角（補角）相等.
(5) 對頂角相等.
3． 證明兩條線段的位置關係（平行、垂直）的方法；
可通過證明兩個三角形全等，得到對應角相等，再利用平行線的判定或垂直定義證明.
4． 輔助線的新增:
(1)作公共邊可構造全等三角形；
(2)倍長中線法；
(3)作以角平分線為對稱軸的翻摺變換全等三角形；
(4)利用截長(或補短)法作旋轉變換的全等三角形.
5. 證明三角形全等的思維方法:
（1）直接利用全等三角形判定和證明兩條線段或兩個角相等，需要我們敏捷、快速地發現兩條線段和兩個角所在的兩個三角形及它們全等的條件.
（2）如果要證明相等的兩條線段或兩個角所在的三角形全等的條件不充分時，則應根據圖形的其它性質或先證明其他的兩個三角形全等以補足條件.
（3）如果現有圖形中的任何兩個三角形之間不存在全等關係，此時應添置輔助線，使之出現全等三角形，通過構造出全等三角形來研究平面圖形的性質.
【典型例題】
型別一、全等三角形的性質和判定
1、兩個大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，b，c，e在同一條直線上，鏈結dc．
(1)請找出圖2中的全等三角形，並給予證明（說明：結論中不得含有未標識的字母）；
(2)證明：dc⊥be .
【變式】如圖，已知：ae⊥ab，ad⊥ac，ab＝ac，∠b＝∠c，求證：bd＝ce.
型別二、巧引輔助線構造全等三角形
(1)．作公共邊可構造全等三角形：
2、 如圖：在四邊形abcd中，ad∥cb，ab∥cd.
求證：∠b＝∠d.
舉一反三：
【變式】在δabc中，ab＝ac.
求證：∠b＝∠c
(2)．倍長中線法：
3、己知：在δabc中，ad為中線.
求證：ad＜
【變式】若三角形的兩邊長分別為5和7, 則第三邊的中線長的取值範圍是( )
a.1 ＜＜ 6 b.5 ＜＜ 7 c.2 ＜＜ 12 d.無法確定
(3).作以角平分線為對稱軸的翻摺變換構造全等三角形：
4、在δabc中，ab＞ac.
求證：∠b＜∠c
(4)．利用截長(或補短)法構造全等三角形：
5、如圖所示，已知△abc中ab＞ac，ad是∠bac的平分線，m是ad上任意一點，求證：mb－mc＜ab－ac．
型別三、全等三角形動態型問題
6、如圖（1），ab⊥bd於點b，ed⊥bd於點d，點c是bd上一點．且bc＝de，cd＝ab．
（1）試判斷ac與ce的位置關係，並說明理由；
（2）如圖（2），若把△cde沿直線bd向左平移，使△cde的頂點c與b重合，此時第（1）問中ac與be的位置關係還成立嗎？（注意字母的變化）
【變式】如圖(1)，△abc中，bc＝ac，△cde中，ce＝cd，現把兩個三角形的c點重合，且使∠bca＝∠ecd，連線be，ad．求證：be＝ad．若將△dec繞點c旋轉至圖(2)，(3)所示的情況時，其餘條件不變，be與ad還相等嗎?為什麼?
一.選擇題
1. 如圖所示，若△abe≌△acf，且ab＝5，ae＝2，則ec的長為（ ）
a.2 b.3 c.5 d.2.5
2. 在△abc中，∠b＝∠c，與△abc全等的三角形有乙個角是100°，那麼在△abc中與這100°角對應相等的角是（ ）
a. ∠a b. ∠b c. ∠c d. ∠b或∠c
3. 如圖，△abc≌△aef，若∠abc和∠aef是對應角，則∠eac等於 （ ）
a．∠acb b．∠caf c．∠baf d．∠bac
4. 在下列結論中, 正確的是( )
a.全等三角形的高相等 b.頂角相等的兩個等腰三角形全等
c. 一角對應相等的兩個直角三角形全等 d.一邊對應相等的兩個等邊三角形全等
5. 如圖，點c、d分別在∠aob的邊oa、ob上，若**段cd上求一點p，使它到oa，ob的距離相等，則p點是
a. 線段cd的中點b. oa與ob的中垂線的交點
c. oa與cd的中垂線的交點 d. cd與∠aob的平分線的交點
6．在△abc與△def中，給出下列四組條件：（1）ab＝de，bc＝ef，ac＝df；（2）ab＝de，∠b＝∠e，bc＝ef；（3）∠b＝∠e，bc＝ef，∠c＝∠f；（4）ab＝de，ac＝df，∠b＝∠e．其中，能使△abc≌△def的條件共有（ ）組．
a．1組 b．2組 c．3組 d．4組
7. 如果兩個銳角三角形有兩條邊和其中一邊上的高對應相等，那麼這兩個三角形的第三條邊所對的角的關係是（ ）
a. 相等b.不相等 c.互補d.相等或互補
8. △abc中，∠bac＝90° ad⊥bc，ae平分∠bac，∠b＝2∠c，∠dae的度數是( )
a.45° b.20° c.、30° d.15°
二.填空題
9. 已知，若△abc的面積為10，則的面積為________，若的周長為16，則△abc的周長為________．
10. △abc和△adc中，下列三個論斷：①ab＝ad；②∠bac＝∠dac；③bc＝dc．將兩個論斷作為條件，另乙個論斷作為結論構成乙個命題，寫出乙個真命題
11. 如圖，直線ae∥bd，點c在bd上，若ae＝4，bd＝8，△abd的面積為16，則的面積為____．
12. 下列說法中：①如果兩個三角形可以依據「aas」來判定全等，那麼一定也可以依據「asa」來判定它們全等；②如果兩個三角形都和第三個三角形不全等，那麼這兩個三角形也一定不全等；③要判斷兩個三角形全等，給出的條件中至少要有一對邊對應相等．正確的是_____.
13. 如右圖，在△abc中，∠c＝90°，bd平分∠cba交ac於點d．若ab＝，cd＝，則△adb的面積為
14．如圖，已知ab⊥bd, ab∥ed，ab＝ed，要說明δabc≌δedc，若以「sas」為依據，還要新增的條件為若新增條件ac＝ec，則可以用_______公理（或定理）判定全等.
15. 如圖，△abc中，h是高ad、be的交點，且bh＝ac，則∠abc
16. 在△abc中，∠c＝90°，ac＝bc，ad平分∠bac，de⊥ab於e.若ab＝20cm，則△dbe的周長為
三.解答題
17. 已知：如圖，cb＝de，∠b＝∠e，∠bae＝∠cad．
求證：∠acd＝∠adc．
18．已知：△abc中，ac⊥bc，ce⊥ab於e，af平分∠cab交ce於f，過f作fd∥bc交ab於d．
求證： ac＝ad
19. 如圖（1），ab⊥bd於點b，ed⊥bd於點d，點c是bd上一點．且bc＝de，cd＝ab．
（1）試判斷ac與ce的位置關係，並說明理由；
（2）如圖（2），若把△cde沿直線bd向左平移，使△cde的頂點c與b重合，此時第（1）問中ac與be的位置關係還成立嗎？（注意字母的變化）
20. 已知如圖所示，pa＝pb，∠1＋∠2＝180°，求證：op平分∠aob．
6全等三角形全章複習與鞏固提高知識講解
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