【學習目標】
1.了解算術平方根、平方根、立方根的概念，會用根號表示數的平方根、立方根.
2.了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求某些非負數的平方根，會用立方運算求某些數的立方根，會用計算器求平方根和立方根.
3.了解無理數和實數的概念，知道實數與數軸上的點一一對應，有序實數對與平面上的點一一對應；了解數的範圍由有理數擴大為實數後，概念、運算等的一致性及其發展變化.
4.能用有理數估計乙個無理數的大致範圍.
【知識網路】
【要點梳理】
實數複習，知識要點
要點一、平方根和立方根
要點二、實數
有理數和無理數統稱為實數.
1.實數的分類
按定義分：
實數按與0的大小關係分：
實數要點詮釋：（1）所有的實數分成三類：有限小數，無限迴圈小數，無限不迴圈小數．其中有限小數和無限迴圈小數統稱有理數，無限不迴圈小數叫做無理數．
（2）無理數分成三類：①開方開不盡的數，如，等；
②有特殊意義的數，如
③有特定結構的數，如0.1010010001…
（3）凡能寫成無限不迴圈小數的數都是無理數，並且無理數不能寫成分數形式.
（4）實數和數軸上點是一一對應的.
2.實數與數軸上的點一一對應.
數軸上的任何乙個點都對應乙個實數，反之任何乙個實數都能在數軸上找到乙個點與之對應.
3.實數的三個非負性及性質：
在實數範圍內，正數和零統稱為非負數。我們已經學習過的非負數有如下三種形式：
（1）任何乙個實數的絕對值是非負數，即||≥0；
（2）任何乙個實數的平方是非負數，即≥0；
（3）任何非負數的算術平方根是非負數，即 ().
非負數具有以下性質：
（1）非負數有最小值零；
（2）有限個非負數之和仍是非負數；
（3）幾個非負數之和等於0，則每個非負數都等於0.
4.實數的運算：
數的相反數是－；乙個正實數的絕對值是它本身；乙個負實數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0.
有理數的運算法則和運算律在實數範圍內仍然成立.實數混合運算的運算順序：先乘方、開方、再乘除，最後算加減.同級運算按從左到右順序進行，有括號先算括號裡.
5.實數的大小的比較：
有理數大小的比較法則在實數範圍內仍然成立.
法則1. 實數和數軸上的點一一對應，在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大；
法則2．正數大於0，0大於負數，正數大於一切負數，兩個負數比較，絕對值大的反而小；
法則3. 兩個數比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數法，估算法，平方法.
【典型例題】
型別一、有關方根的問題
【 實數複習，例1】
1、已知，求的值.
【思路點撥】由被開方數是非負數，分母不為0得出的值，從而求出值，及的值.
【答案與解析】
解：由題意得
，解得＝－3
＝－2∴＝.
【總結昇華】根據使式子有意義的條件列出方程，解方程，從而得到的值.
舉一反三：
【變式1】已知，求的平方根。
【答案】
解：由題意得：
解得＝2
∴＝3，，的平方根為±3.
【變式2】若和互為相反數,試求的值。
【答案】
解：∵和互為相反數,
∴3－7＋3＋4＝0
∴3（）＝3，＝1.
2、已知m是滿足不等式的所有整數的和，n是滿足不等式的最大整數．求m＋n的平方根．
【答案與解析】
解：∵的所有整數有－1，0，1，2
所有整數的和m＝－1＋1＋0＋2＝2
∵≈2，n是滿足不等式的最大整數．
∴n＝2
∴m＋n＝4，m＋n的平方根是±2.
【總結昇華】先由已知條件確定m、n的值，再根據平方根的定義求出m＋n的平方根．
型別二、與實數有關的問題
3、已知是的整數部分，是它的小數部分，求的值．
【思路點撥】乙個數是由整數部分＋小數部分構成的.通過估算的整數部分是3，那麼它的小數部分就是，再代入式子求值.
【答案與解析】
解：∵是的整數部分，是它的小數部分，∴∴.
【總結昇華】可用夾擠法來確定，即看介於哪兩個相鄰的完全平方數之間，然後開平方.這個數減去它的整數部分後就是它的小數部分.
舉一反三：
【變式】 已知5＋的小數部分為，5－的小數部分為，則＋的值是 ；
－的值是_______.
【答案】；
提示：由題意可知，.
4、閱讀理解，回答問題.
在解決數學問題的過程中，有時會遇到比較兩數大小的問題，解決這類問題的關鍵是根據命題的題設和結論特徵，採用相應辦法，其中巧用「作差法」是解決此類問題的一種行之有效的方法：若－＞0，則＞；若－＝0，則＝；若－＜0，則＜.
例如：在比較與的大小時，小東同學的作法是：
∵請你參考小東同學的作法，比較與的大小.
【思路點撥】仿照例題，做差後經過計算判斷差與0的關係，從而比較大小.
【答案與解析】
解：∵∴＜
【總結昇華】實數比較大小常用的有作差法和作商法，根據具體情況加以選擇.
舉一反三：
【高畫質課堂：389318 實數複習，例5】
【變式】實數在數軸上的位置如圖所示，則的大小關係是
【答案】；
型別三、實數綜合應用
5、已知、滿足，解關於的方程。
【答案與解析】
解：∵∴2＋8＝0,－＝0,解得＝－4,＝，代入方程：
【總結昇華】先由非負數和為0，則幾個非負數分別為0解出、的值，再解方程.
舉一反三：
【變式】設、、都是實數，且滿足，
求代數式的值。
【答案】
解：∵ ∴，解得
∴.【實數複習，例6】
6、閱讀材料：
學習了無理數後，某數學興趣小組開展了一次**活動：估算的近似值.
小明的方法：
∵，設（）.∴.
∴.∴.解得 .∴.
問題：（1）請你依照小明的方法，估算的近似值；
（2）請結合上述具體例項，概括出估算的公式：已知非負整數、、，若，且，則用含、的代數式表示)；
（3）請用（2）中的結論估算的近似值.
【答案與解析】
解：（1）∵，設（）.
∴.∴.∴.
解得 .
∴.（2）∵，設（）.
∴.∴.
∴.對比，
∴（3）
∴，∴6.083.
【總結昇華】此題比較新穎，關鍵是通過閱讀材料快速掌握估值的方法.（2）問中要對比式子，找準和，表示出.
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