七年級下冊數學培優資料——
第5章相交線與平行線
例1．如圖(1)，直線a與b平行，∠1＝(3x+70)°,∠2=(5x+22)°,
求∠3的度數。
解：∵ a∥b，
∴ ∠3＝∠4（兩直線平行，內錯角相等）
∵ ∠1+∠3＝∠2+∠4＝180°(平角的定義)
∴ ∠1＝∠2 (等式性質)
則 3x+70＝5x+22 解得x=24
即∠1＝142°
∴ ∠3＝180°-∠1＝38圖(1)
評注：建立角度之間的關係，即建立方程（組），是幾何計算常用的方法。
例2．已知：如圖(2)， ab∥ef∥cd，eg平分∠bef，∠b+∠bed+∠d =192°，
∠b-∠d=24°，求∠gef的度數。
解：∵ab∥ef∥cd
∴∠b=∠bef，∠def=∠d（兩直線平行，內錯角相等）
∵∠b+∠bed+∠d =192°（已知）
即∠b+∠bef+∠def+∠d=192°
∴2（∠b+∠d）=192°（等量代換）
則∠b+∠d=96°（等式性質）
∵∠b-∠d=24°（已知圖(2)
∴∠b=60°（等式性質
即∠bef=60°（等量代換）
∵eg平分∠bef（已知）
∴∠gef=∠bef=30°（角平分線定義）
例3．如圖（3），已知ab∥cd，且∠b=40°，∠d=70°，求∠deb的度數。
解：過e作ef∥ab
∵ ab∥cd（已知）
∴ ef∥cd（平行公理）
∴ ∠bef=∠b=40° ∠def=∠d=70°（兩直線平行，內錯角相等）
∵ ∠deb=∠def-∠bef
∴ ∠deb =∠d-∠b=30°
評注：證明或解有關直線平行的問題時，如果不構成「三線八角」，則應添出輔助線圖（3）
例4．平面上n條直線兩兩相交且無3條或3條以上直線共點，有多少個不同交點？
解：2條直線產生1個交點，
第3條直線與前面2條均相交，增加2個交點，這時平面上3條直線共有1+2=3個交點；
第4條直線與前面3條均相交，增加3個交點，這時平面上4條直線共有1+2+3=6個交點；
…則 n條直線共有交點個數：1+2+3+…+ (n-1)= n(n-1)
評注：此題是平面上n條直線交點個數最多的情形，需要仔細觀察，由簡及繁，深入思考，從中發現規律。
例5．6個不同的點，其中只有3點在同一條直線上，2點確定一條直線，問能確定多少條直線？
解：6條不同的直線最多確定：5+4+3+2+1=15條直線，除去共線的3點中重合多算的2條直線，即能確定的直線為15-2=13條。
另法：3點所在的直線外的3點間最多能確定3條直線，這3點與直線上的3點最多有3×3=9條直線，加上3點所在的直線共有：3+9+1=13條
評注：一般地，平面上n個點最多可確定直線的條數為：1+2+3+…+(n-1)= n(n-1)
例6．10條直線兩兩相交，最多將平面分成多少塊不同的區域？
解：2條直線最多將平面分成2+2=4個不同區域；
3條直線中的第3條直線與另兩條直線相交，最多有兩個交點，此直線被這兩點分成3段，每一段將它所在的區域一分為二，則區域增加3個，即最多分成2+2+3=7個不同區域；
同理：4條直線最多分成2+2+3+4=11個不同區域；
…∴ 10條直線最多分成2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56個不同區域
推廣：n條直線兩兩相交，最多將平面分成2+2+3+4+…+n=1+n(n+1)= (n2+n+2)塊不同的區域
思考：平面內n個圓兩兩相交，最多將平面分成多少塊不同的區域？
例7．兩條直線相交於一點，所形成的的角中有2對對頂角，4對鄰補角，那麼，三條直線相交於一點時，有多少對對頂角，多少對鄰補角？四條直線相交於一點時，有多少對對頂角，多少對鄰補角？n條直線相交於一點時，有多少對對頂角，多少對鄰補角？
二、鞏固練習
1．平面上有5個點，其中僅有3點在同一直線上，過每2點作一條直線，一共可以作直線（ ）條
a．6 b． 7 c．8 d．9
2．平面上三條直線相互間的交點個數是 （ ）
a．3 b．1或3 c．1或2或3 d．不一定是1，2，3
3．平面上6條直線兩兩相交，其中僅有3條直線過一點，則截得不重疊線段共有（ ）
a．36條 b．33條 c．24條 d．21條
4．已知平面中有個點三個點在一條直線上，四個點也在一條直線上，除些之外，再沒有三點共線或四點共線，以這個點作一條直線，那麼一共可以畫出38條不同的直線，這時等於（ ）
（a）9 （b）10 （c）11 （d）12
5．若平行直線ab、cd與相交直線ef、gh相交成如圖示的圖形，則共得同旁內角（ ）
a．4對 b．8對 c．12對 d．16對
6．如圖，已知fd∥be，則∠1+∠2-∠3
a．90° b．135° c．150° d．180°
第7題7．如圖，已知ab∥cd，∠1=∠2，則∠e與∠f的大小關係
8．平面上有5個點，每兩點都連一條直線，問除了原有的5點之外這些直線最多還
有交點9．平面上3條直線最多可分平面為個部分。
10．如圖，已知ab∥cd∥ef，psgh於p，∠frg=110°，則∠psq＝ 。
11．已知a、b是直線l外的兩點，則線段ab的垂直平分線與直線的交點個數是 。
12．平面內有4條直線，無論其關係如何，它們的交點個數不會超過個。
13．已知：如圖，de∥cb ，求證：∠aed=∠a+∠b
14．已知：如圖，ab∥cd，求證：∠b+∠d+∠f=∠e+∠g
第13題第14題
15．如圖，已知cbab，ce平分∠bcd，de平分∠cda，
∠edc+∠ecd =90°，
求證：daab
16．一直線上5點與直線外3點，每兩點確定一條直線，最多確定多少條不同直線？
答案1． 5個點中任取2點，可以作4+3+2+1＝10條直線，在一直線上的3個點中任取2點，可作2+1＝3條，共可作10-3+1＝8（條）故選c
2．平面上3條直線可能平行或重合。故選d
3．對於3條共點的直線，每條直線上有4個交點，截得3條不重疊的線段，3條直線共有9條不重疊的線段
對於3條不共點的直線，每條直線上有5個交點，截得4條不重疊的線段，3條直線共有12條不重疊的線段。
故共有21條不重疊的線段。故選d
4．由個點中每次選取兩個點連直線，可以畫出條直線，若三點不在一條直線上，可以畫出3條直線，若四點不在一條直線上，可以畫出6條直線，
∴ 整理得
∵ n+9＞0 ∴ ∴選b。
5．直線ef、gh分別「截」平行直線ab、cd，各得2對同旁內角，共4對；直線ab、cd分別「截」相交直線ef、gh，各得6對同旁內角，共12對。因此圖中共有同旁內角4+6＝16對
6．∵fd∥be
∴∠2=∠agf
∵∠agc=∠1-∠3
∴∠1+∠2-∠3=∠agc+∠agf=180° ∴選b7．解：∵ab∥cd （已知）
∴∠bad=∠cda（兩直線平行，內錯角相等）
∵∠1=∠2 （已知）
∴∠bad+∠1=∠cda+∠2（等式性質）
即∠ead=∠fda
∴ae∥fd
∴∠e＝∠f
8．解：每兩點可確定一條直線，這5點最多可組成10條直線，又每兩條直線只有乙個交點，所以共有交點個數為9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45（個）
又因平面上這5個點與其餘4個點均有4條連線，這四條直線共有3+2+1＝6個交點與平面上這一點重合應去掉，共應去掉5×6=30個交點，所以有交點的個數應為45-30＝15個
9．可分7個部分10．解 ∵ab∥cd∥ef
∴∠apq＝∠dqg=∠frg=110°
同理∠psq=∠aps
∴∠psq=∠apq-∠spq=∠dqg-∠spq
=110°-90°=20°
11． 0個、1個或無數個
1）若線段ab的垂直平分線就是l，則公共點的個數應是無數個；
2）若abl，但l不是ab的垂直平分線，則此時ab的垂直平分線與l是平行的關係，所以它們沒有公共點，即公共點個數為0個；
3）若ab與l不垂直，那麼ab的垂直平分線與直線l一定相交，所以此時公共點的個數為1個
12．4條直線兩兩相交最多有1+2+3＝6個交點
13．證明：過e作ef∥ba
∴∠2=∠a（兩直線平行，內錯角相等）de∥cb，
ef∥ba
∴∠1=∠b（兩個角的兩邊分別平行，這兩個角相等）
∴∠1+∠2=∠b+∠a（等式性質）
即∠aed=∠a+∠b
14．證明：分別過點e、f、g作ab的平行線eh、pf、gq，
則ab∥eh∥pf∥gq（平行公理）
∵ ab∥eh
∴ ∠abe＝∠beh（兩直線平行，內錯角相等）
同理：∠hef＝∠efp
∠pfg＝∠fgq
∠qgd＝∠gdc
∴ ∠abe+∠efp+∠pfg+∠gdc＝∠beh+∠hef+
∠fgq+∠qgd（等式性質）
即 ∠b+∠d+∠efg=∠bef+∠gfd
15．證明：∵de平分∠cda ce平分∠bcd∴∠edc=∠ade ∠ecd =∠bce (角平分線定義)
∴∠cda +∠bcd=∠edc+∠ade+∠ecd+∠bce
=2（∠edc+∠ecd）＝180°
∴ da∥cb
又∵ cbab
∴ daab
18．∵ 直線上每一點與直線外3點最多確定3×5=15條直線；直線外3點間最多能確定3
條直線，
∴ 最多能確定15+3+1=19條直線
如圖，已知直線l1∥l2，直線l3和直線l1、l2交於點c和d，在直線cd上有一點p．
（1）如果p點在c、d之間運動時，問∠pac，∠apb，∠pbd有怎樣的數量關係？請說明理由．
2023年春季期七年級下冊數學第五章測試題
滿分 120分 一 選擇題 每題3分，共36分 1.下列各圖中，1與 2是對頂角的是 2.如圖，點e在ac的延長線上，下列條件中能判斷ab cd的是 ab cd.3.工人師傅在架設電線時，為了檢驗三條電線是否平行，工人師傅只檢查了其中兩條是否與第三條平行即可，這種做法的根據是 a.兩點確定一條直線 ...
七年級下冊第五章單元試卷
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人教版七年級下冊數學第五章測試題及答案
七年級數學下冊第五章測試題 姓名成績 一 單項選擇題 每小題3分，共 30 分 1 如圖所示，1和 2是對頂角的是 2 如圖ab cd可以得到 a 1 2 b 2 3 c 1 4 d 3 4 3 直線ab cd ef相交於o，則 1 2 3 a 90 b 120c 180 d 140 4 如圖所示，...