在學習全等三角形知識時，我們會遇到這樣的問題：已知△abc，ab=bc≠ac，作與△abc只有一條公共邊，且與△abc全等的三角形，這樣的三角形有幾個？經筆者了解，這個問題對於學生有一定的難度，因為學生還沒有學習到系統的深入的軸對稱知識，僅僅只能對簡單的軸對稱圖形產生膚淺的感性上的認識．而且有些教師，也覺得這個問題難，不能清楚的給學生講述．所以，筆者認為有必要在此研究一下.
一、**結論
如圖1，△abc，先以ac為公共邊，作與△abc全等的三角形，經筆者研究發現可以分為兩類：另外兩邊ab和bc不相等或者相等兩種情況.
1.以ac為公共邊且ab≠bc時(如圖1)，作與△abc全等的三角形
首先，作出線段ac的垂直平分線(如圖1、2中的虛線)，再作出△abc關於ac的垂直平分線的軸對稱圖形△ab1c，顯然△ab1c≌△abc.
再將△abc和△ab1c沿直線ac為對稱軸翻摺180度，得到△ab2c和△ab3c(如圖2)，顯然△ab2c≌△abc，△ab3c≌△a b1c≌△abc.
結論：以三角形的一邊為公共邊且另外兩邊不相等時(如圖2)，作與該三角形全等的三角形能作出3個新的(與原三角形區別).其中有2個與原三角形成軸對稱，另乙個與原三角形不成軸對稱(圖2的陰影部分).
2.以ac為公共邊且ab=bc時(如圖3)，作與△abc全等的三角形
把△abc沿直線ac為對稱軸翻摺1800，得到△ab1c (如圖3)，顯然△ab1c≌△abc.
結論：以三角形的一邊為公共邊且另外兩邊相等時(如圖3)，只能作出1個新的三角形與原三角形全等，且與原三角形成軸對稱.
通過上面的研究，可得三種情形：
情形 1 當三角形三邊互不相等時，作與該三角形有一條公共邊，且與該三角形全等的新三角形(與原三角形區別)能作9個. 其中有6個與原三角形成軸對稱，3個與原三角形不成軸對稱(圖4的陰影部分).
情形 2當三角形為只有兩邊相等的等腰三角形時，作與該等腰三角形有一條公共邊，且與該等腰三角形全等的新三角形能作7個.因為以底邊為公共邊時，由於另外兩邊是兩腰(相等)，所以比情形1少了2個. 並且7個新三角形中有5個與原三角形成軸對稱，2個與原三角形不成軸對稱(圖5的陰影部分).
情形 3當三角形為等邊三角形時，作與該等邊三角形有一條公共邊，且與該等邊三角形全等的新三角形只能作3個，都與原三角形成軸對稱.圖略.
對於以上情形1、2的結論，有教師和學生提出了質疑：會不會有三角形重合的現象？造成有的三角形被重複計算了呢？
筆者可以肯定地回答：不會.因為從前面的圖1、圖2我們可以看出：
在以已知三角形某條邊為公共邊作已知三角形的全等三角形時，是分別以這條公共邊的垂直平分線和過這條邊所在直線為對稱軸作的，又因三角形的三邊所在直線和三條邊的垂直平分線不會重合，所以與原三角形成軸對稱的新三角形不會重合.假設有重合現象，那麼對稱軸也會重合.顯然假設不成立.
還要考慮與已知三角形成軸對稱的三角形和與已知三角形不成軸對稱的三角形之間是否會發生重合.假設它們有重合現象，那麼與已知三角形不成軸對稱的三角形也變得與已知三角形軸對稱了，顯然是矛盾的.
那麼與已知三角形不成軸對稱的三角形之間會不會重合呢？因為與已知三角形不成軸對稱的全等三角形它們分別都與原三角形有一條不同的公共邊，如果它們重合，那麼它們至少與原三角形有兩條公共邊了，這與題目不符.
這些教師和學生的質疑提醒了筆者，雖然上面已經說明了沒有三角形重合現象，那麼會不會有新三角形的第三個頂點（與公共邊的兩個頂點區別）重合的現象呢？筆者通過進一步研究，證實了自己的想法.發現與直角三角形全等且有一條公共邊的新三角形的第三個頂點有重合現象，且重合於原直角三角形的直角頂點以斜邊的中點為中心的中心對稱點處，有3點在此重合為1點；另外還有頂角為1200的等腰三角形在頂角的角平分線(這裡筆者理解為射線)的反向延長線上且距離頂角頂點為該三角形腰長的位置處，有2點重合為1點.
由於畫圖方法與前面介紹的相同，所以這兩種第三個頂點重合的圖形筆者在此省略了，留給讀者驗證吧.但是筆者還是要強調一下：千萬不要把第三個頂點的重合理解成新三角形會重合了.
所以筆者再次重申：與已知三角形全等且有一條公共邊的新三角形是不會重合的.
二、應用舉例
現在，我們可以回答文章開頭的問題了.
例1 已知△abc中，ab=bc≠ac，作與△abc只有一條公共邊，且與△abc全等的三角形，這樣的三角形有幾個？
有了前面的作圖方法和總結的3種情形作基礎，回答這個問題並不難，但是筆者考慮的是如何讓學生也能突破這個難點.於是讓學生用較硬的紙，自己動手裁剪出符合題意的等腰三角形，然後按照前面介紹的方法在一張白紙上進行翻轉，並且用筆畫出原三角形和新三角形的位置，針對新三角形的第三個頂點標出如a1，a2，a3，b1，c1，c2，c3這樣的字母進行區分.這樣教學，學生興趣高，不僅重視了知識的形成過程，而且符合素質教育的課堂模式.
最後，由學生自己總結出，這樣的三角形共有7個，以ab為公共邊有3個，以bc為公共邊有3個，以ac為公共邊有乙個.筆者乘熱打鐵提出問題：為什麼以兩腰為公共邊時分別有3個，以底邊為公共邊只有1個？
並且讓各小組展開討論，得出結論：當另外兩邊（區別於公共邊）不相等時，有3個；當另外兩邊相等時，只有1個.
可是，有的題目往往不會像例1那樣很單一的檢測這個這知識點，而是多個知識點相結合，並且提問的方式也發生了變化.
例2 已知rt△abc在直角座標系中的位置如圖6所示，請寫出與rt△abc全等且有一條公共邊的所有直角三角形的第三個頂點的座標（指寫出座標為整數的點）.
該題目將作與已知三角形有公共邊的全等三角形和直角座標系相結合，根據前面總結的情形1及其推導過程的作圖方法很容易作出與rt△abc全等且有一條公共邊的所有直角三角形共有9個，但是，筆者在給學生講述此題時，為了降低難度，首先讓學生用他們手中的含300的直角三角板在一張白紙上通過翻摺畫出與已知直角三角形abc（按上圖中rt△abc的頂點字母的標註順序標記）全等且有一條公共邊的9個直角三角形，同時用a1，a2，a3(以bc邊為公共邊時，用a1，a2，a3三個字母標註新三角形的第三個頂點，以此類推.)，b1，b2，b3，c1，c2，c3標記這9個直角三角形第三個頂點，同學們發現a1，b1，c3三個點重合為1個點，然後，筆者才讓學生在圖6的直角座標系中畫出9個與rt△abc全等且有一條公共邊的所有直角三角形，此時，學生畫得較容易.顯然從圖中很直觀地看出這9個新直角三角形的第三個頂點只有7個，且座標為整數的點僅有五個(座標略).
還有的題目變式的面目全非，而且附加了一些特殊要求，學生拿到此類題目無法將它與本文前面總結的三種情形及其推導過程的作圖方法聯絡起來，於是作此類題目盲目性很大，沒有章法.
例3 如圖7，把乙個等腰三角形紙片沿底邊上的高剪開成為兩個三角形紙片，現在要用這兩個三角形紙片拼合成與原等腰三角形不同的三角形或四邊形，並且要求拼合成的圖形是軸對稱圖形，這樣的圖形有個.
筆者總結出，此類題目不管它們怎麼變式，但都有乙個共同點：新三角形與已知三角形全等且有一條公共邊.例3把乙個等腰三角形紙片沿底邊上的高剪開成為兩個直角三角形紙片顯然全等，再把這兩個全等的三角形拼合成新的圖形必然會出現公共邊，所以例3是本文闡述的同一型別題目.
我們不妨把剪開的兩個全等的直角三角形，乙個令為已知的rt△abc，另乙個是與已知rt△abc有公共邊且全等的新三角形，從圖中可以看出rt△abc三邊互不相等，所以符合前面總結的情形1，筆者讓學生把已知rt△abc和與其全等且有一條公共邊的新三角形快速地畫成了9幅草圖（請讀者自己畫圖），很容易的看出：其中有3幅形如「區」字，有兩條邊發生交叉並且有一部分面積重疊，不符合題目「拼合」的要求；還有2幅組成的平行四邊形(因鄰邊不相等或沒有內角是900)不是軸對稱圖形；另外有1幅與原等腰三角形全等；最後剩下3幅符合題意，請讀者驗證.通過此法作該題，思路清晰，目標明確，不易出現多選或遺漏答案情況.
筆者還想對上面的結果提出一點異議：可能出題人的本意是想得到「3個」的答案，但是經筆者研究，如果原等腰三角形是等腰直角三角形，那麼答案就是1個了(請讀者驗證).但是，筆者想為出題人辯護一下：
是不是題目中的「如圖」二字起到作用了呢？
三、小試牛刀
如圖8，是一張6×6的方格紙，我們把像△abc這樣頂點在小正方形的頂點的三角形叫做格點三角形．(1)是否存在與△abc只有一條公共邊，且全等於△abc的格點三角形？如果存在，請畫出兩個這種三角形．（筆者添一問：這種三角形一共可以畫幾個？
）個人簡介：穀興武，男，39歲，中學一級教師，任教初中數學多年，有一定的教學經驗.
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