1．如圖，已知點c為線段ab上一點，和都是等邊三角形，an、bm相交於點o，an、cm交於點p，bm、cn交於點q．
（1）求證：．
（2）求的度數．
（3）求證：．
【分析】（1）欲證，只需證明它所在的兩個三角形全等．（2）的度數可用的外角來求，但要注意全等所得到這一條件的使用．（3）要，則，應該為乙個等邊三角形，可證明≌，從而得到．
（1）證明：和都是等邊三角形，
，即．在和中，
．（2）由（1）知，≌，．
，即．（3）在和中，
，．又，，即，．【點撥】
（1）要證明線段相等（或角相等），找它們所在的三角形全等．
（2）本題的圖形規律：共乙個頂點的兩個等邊三角形構成的圖形中，存在一對或多對繞公共點旋轉變
換的三角形全等．
2．如圖，在中,，，的平分線am的長15，求bc的長．
【分析】由am平分，，可得，，則，所以．在中，，可得，由，可求出bc的長．
解：在中，，，
．am平分，
，，．在中，，
．【點撥】含30度的直角三角形的性質常與直角三角形的兩個銳角互餘一起運用，此性質是求線段長度和證明線段倍分問題的重要方法．
3．如圖，，，，．求證：．
【分析】根據已知「，」聯想到等腰三角形「三線合一」，通過輔助線將證明轉化為證明．
證明：延長ce、ba交於點f．
，．在和中，
≌，，即．，．在和中，
≌，，．【點撥】
（1）利用等腰三角形「三線合一」不僅能得到線段相等、角相等，而且能得到線段的倍半關係．
（2）聯絡等腰三角形「三線合一」作頂角平分線或底邊的中線或底邊的高線是常用的輔助線．
4．如圖，△abc中，ab=ac，在ab邊上取點d，在ac延長線上取點e，使bd=ce，鏈結de交bc於g．
求證：dg=ge．
【分析】由於△abc是等腰三角形，d為ab上一點，e為ac延長線上一點，故可考慮過d或e作腰ac或ab的平行線，通過構造等腰三角形，可獲得結論．
證法1：過d作df∥ac，交bc於f（如圖）．
∴∠dfb=∠acb．
又∵ab=ac，
∴∠b=∠acb．
∴∠b=∠dfb．
∴db=df．
∵ce=bd(已知)，
∴df=ce．
又∠dgf=∠cge，∠gdf=∠e，
∴△dfg≌△ecg（aas）．
∴dg=ge．
證法2：過e作em∥ab交bc延長線於m．
∴∠b=∠m．
又∵ab=ac，
∴∠b=∠acb．
又∠acb=∠ecm，
∴∠m=∠ecm．
∴ec=em．
∵ce=bd(已知)，
∴em=bd．
在△bdg與△meg中，
∴△bdg≌△meg（aas）．
∴dg=ge．
【點撥】
（1）本題的證明方法很多，其思路是通過利用等腰三角形abc的底角相等並借助bd=ce條件，構造新的
等腰三角形來尋求結論．
（2）本題在推證含dg、ge為對應邊的兩個三角形全等時，尋找等邊是乙個難點，也是本題最易出錯的
地方，主要表現為把bd=ce這一條件直接作為三角形全等時的對應邊．
5．已知：如圖，△abc中，ab=ac，∠a=36°，仿照圖（1），請你再設計兩種不同的方法，將△abc分割成3個三角形，使得每個三角形都是等腰三角形（如圖（1））．
（2）圖(2)（3）供畫圖用，作圖工具不限，不要求寫畫法，不要求證明；要求標出所分得的每個等腰三角形三個內角的度數）．
【分析】由於所給三角形是乙個含36°的等腰三角形，因而將它分成三個等腰三角形時仍只需考慮以36°，72°，108°等為內角的等腰三角形即可．
解：本題顯然應有多種結果，現提供3種，以供同學們參考，如圖中（2）、（3）、（4）；
【點撥】像本例這種圖形的分割問題的求解，一方面應把握原圖形的特徵，借助經驗予以解決，另一方面還應大膽嘗試，在操作中獲得結果．
6．如圖，在乙個寬度為的小巷內，乙個梯子的長度為b，梯子的腳位於p點．將梯子的頂端放於一堵牆上q點時，q點離地面的高度為c，此時梯子與地面的夾角為．將梯子頂端放於對面一堵牆上r點，離開地面的高度為d，此時梯子與地面的夾角為．可知，為什麼？
【分析】由，，可知，又，可知為等邊三角形，則，可推得．
證明：連線rq、rb．
，，．又，為等邊三角形，
．在中，，
，，，**段pq的垂直平分線上，
．在中，，
．在中，，，，即
等腰三角形經典例題
1 知識點梳理 1 等腰三角形的性質定理 等腰三角形的兩個底角相等 作用 證明同乙個三角形中的兩個角相等。2 等腰三角形性質定理 等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高，互相重合 簡稱 三線合一 作用 可證明角相等，線段相等或垂直。3 等腰三角形的判定定理 如果乙個三角形的兩個角相等，那麼...
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