編稿：丁會敏審稿：王靜偉
【學習目標】
1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式，能根據兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直；
2.掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般式），了解斜截式與一次函式的關係；
3.能用解方程組的方法求兩直線的交點座標；
4.掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離；
5.掌握圓的標準方程的特點，能根據所給有關圓心、半徑的具體條件準確地寫出圓的標準方程；
6.掌握圓的一般方程的特點，能將圓的一般方程化為圓的標準方程從而求出圓心的座標和半徑；
7.能根據給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關係.
【知識網路】
【要點梳理】
要點一：直線方程的幾種形式
（1）直線方程的幾種表示形式中，除一般式外都有其適用範圍，任何一種表示形式都有其優越性，需要根據條件靈活選用．
（2）在求解與直線方程有關的問題中，忽視對斜率不存在時的直線方程的討論是常見的錯誤，應特別警惕．
（3）確定直線方程需要且只需兩個獨立條件，利用待定係數法求直線方程是常用方法．
常用的直線方程有：
①；②；③；④(λ為引數)．
要點二：兩條直線的位置關係
1．特殊情況下的兩直線平行與垂直．
(1)當兩條直線的斜率都不存在時，兩直線的傾斜角都為，互相平行；
(2)當一條直線的斜率不存在（傾斜角為），另一條直線的傾斜角為時，兩直線互相垂直．
2．斜率都存在時兩直線的平行：
（1）已知直線和，則=且
（2）已知直線：和： ，則
∥ ．要點詮釋：對於一般式方程表示的直線的位置的判定，可以先將方程轉化為斜截式形式，再作判定．
3．斜率都存在時兩直線的垂直：
（1）已知直線和，則；
（2）已知直線：和：，則
．要點三：點到直線的距離公式
1．點到直線距離公式：
點到直線的距離為：
2．兩平行線間的距離公式
已知兩條平行直線和的一般式方程為：，：，則與的距離為．
要點詮釋：一般在其中一條直線上隨意地取一點m，再求出點m到另一條直線的距離即可
要點四：對稱問題
1．點關於點成中心對稱
點關於點成中心對稱的對稱中心恰是這兩點為端點的線段的中點，因此中心對稱的問題是線段中點座標公式的應用問題．
設，對稱中心為，則p關於a的對稱點為．
2．點關於直線成軸對稱
由軸對稱定義知，對稱軸即為兩對稱點連線的「垂直平分線」．利用「垂直」「平分」這兩個條件建立方程組，就可求出對稱點的座標，一般情形如下：
設點關於直線的對稱點為，則有，求出、．
特殊地，點關於直線的對稱點為；點關於直線的對稱點為．
3．兩點關於點對稱、兩點關於直線對稱的常見結論：
（1）點關於x軸的對稱點為；
（2）點關於y軸的對稱點為；
（3）點關於原點的對稱點為；
（4）點關於直線的對稱點為；
（5）點關於直線的對稱點為．
要點五：圓的方程
求圓的方程通常果用待定係數法，若條件涉及圓心、半徑等，可設成圓的標準方程；若條件涉及圓過一些定點，則可設成圓的一般方程．運用圓的幾何性質可以使運算簡便．
1．圓的標準方程
，其中為圓心，為半徑.
要點詮釋：(1)如果圓心在座標原點，這時，圓的方程就是.有關圖形特徵與方程的轉化：
如：圓心在x軸上：b=0；圓與y軸相切時：
；圓與x軸相切時：；與座標軸相切時：；過原點：.
(2)圓的標準方程圓心為，半徑為，它顯現了圓的幾何特點.
(3)標準方程的優點在於明確指出了圓心和半徑.由圓的標準方程可知，確定乙個圓的方程，只需要a、b、r這三個獨立引數，因此，求圓的標準方程常用定義法和待定係數法.
2．圓的一般方程
當時，方程叫做圓的一般方程.為圓心，為半徑.
要點詮釋：由方程得
(1)當時，方程只有實數解.它表示乙個點.
(2)當時，方程沒有實數解，因而它不表示任何圖形．
(3)當時，可以看出方程表示以為圓心，為半徑的圓.
要點六：點和圓的位置關係
如果圓的標準方程為，圓心為，半徑為，則有
(1)若點在圓上
(2)若點在圓外
(3)若點在圓內
要點七：直線與圓的位置關係
1.直線與圓的位置關係：
(1)直線與圓相交，有兩個公共點；
(2)直線與圓相切，只有乙個公共點；
(3)直線與圓相離，沒有公共點.
2.直線與圓的位置關係的判定方法：
(1)代數法：
判斷直線與圓c的方程組成的方程組是否有解.
如果有解，直線與圓c有公共點；
有兩組實數解時，直線與圓c相交；
有一組實數解時，直線與圓c相切；
無實數解時，直線與圓c相離.
(2)幾何法：
設直線，圓，圓心到直線的距離記為，則:
當時，直線與圓c相交；
當時，直線與圓c相切；
當時，直線與圓c相離.
要點詮釋：
(1)當直線和圓相切時，求切線方程，一般要用到圓心到直線的距離等於半徑；求切線長，一般要用到切線長、圓的半徑、圓外點與圓心連線構成的直角三角形，由勾股定理解得.
(2)當直線和圓相交時，有關弦長的問題，要用到弦心距、半徑和半弦構成的直角三角形，也是通過勾股定理解得，有時還用到垂徑定理.
(3)當直線和圓相離時，常討論圓上的點到直線的距離問題，通常畫圖，利用數形結合來解決.
要點八：圓與圓的位置關係
1.圓與圓的位置關係：
(1)圓與圓相交，有兩個公共點；
(2)圓與圓相切(內切或外切)，有乙個公共點；
(3)圓與圓相離(內含或外離)，沒有公共點.
2.圓與圓的位置關係的判定：
(1)代數法：
判斷兩圓的方程組成的方程組是否有解.
有兩組不同的實數解時，兩圓相交；
有一組實數解時，兩圓相切；
方程組無解時，兩圓相離.
(2)幾何法：
圓與圓，兩圓圓心距，則：
當時，兩圓相交；
當時，兩圓外切；
當時，兩圓外離；
當時，兩圓內切；
當時，兩圓內含.
要點詮釋：
判定圓與圓的位置關係主要是利用幾何法，通過比較兩圓的圓心距和兩圓的半徑的關係來確定，這種方法運算量小.也可利用代數法，但是利用代數法解決時，一是運算量大，二是方程組僅有一解或無解時，兩圓的位置關係不明確，還要比較兩圓的圓心距和兩圓半徑的關係來確定.因此，在處理圓與圓的位置關係時，一般不用代數法.
要點九：求圓的切線方程的常用方法：
(1)直接法：應用常見結論，直接寫出切線方程；
(2)待定係數法：設出切點座標或切線斜率，由題意列出方程(組)解得切點座標或切線斜率，寫出點斜式，最後將點斜式化為一般式；
(3)定義法：根據直線方程的定義求出切線方程.
常見圓的切線方程：
①過圓上一點的切線方程是；
②過圓上一點的切線方程是：
. 要點十：空間直角座標系
空間直角座標系中座標的求法：過該點作兩條軸所確定平面的平行平面交另一軸於一點，交點在這條軸上的座標就是已知點相應的乙個座標．確定簡單幾何體的頂點座標是今後正確運用座標法解題的關鍵，必須要熟練且正確地掌握空間直角座標系的建立與中點座標的確定方法．
【典型例題】
型別一：直線方程的綜合問題
例1．已知a(-m-3，2)，b(-2m-4，4)，c(-m，m)，d(3，3m+2)，若直線ab⊥cd，求m的值．
【思路點撥】兩直線垂直的前提條件是、均存在且不為零，所以這類問題應分斜率存在和不存在兩種情況討論．
【答案】1或-1
【解析】∵ a、b兩點縱座標不相等，
∴ ab與x軸不平行．
∵ ab⊥cd，
∴ cd與x軸不垂直，-m≠3，m≠-3．
①當ab與x軸垂直時，
-m-3＝-2m-4，解得m＝-1．
而m＝-1時，c、d縱座標均為-1，
∴ cd∥x軸，此時ab⊥cd，滿足題意．
②當ab與x軸不垂直時，由斜率公式，．
∵ ab⊥cd，∴ ，
即，解得m＝1．
綜上，m的值為1或-1．
舉一反三：
【變式1】已知：，求使的的值．
【答案】或
【解析】
解法一：當直線斜率不存在，即時，有，符合；
直線斜率存在時，．
故使的的值為或．
解法二：由解得或，故使的的值為或．
例2．已知三條直線，，且與的距離為．
(1)求a的值．
(2)能否找到一點p，使得點p同時滿足下列三個條件：①點p是第一象限點，②點p到、的距離比是:，③點p到、的距離比是1:2．若能，求點p的座標；若不能，說明理由．
【思路點撥】用平行線間的距離、點到直線的距離公式求解．
【答案】（1）3 （2）
【解析】
(1)直線的方程變為，
∴ 與的距離，
(2)設p(x0，y0)，若點p滿足條件③，則點p在與直線、平行的直線上，
且，即或，
∴ 為或．
若點p滿足條件②，由點到直線的距離公式得
，解得或(∵ 點p是第一象限點，∴ 不合題意，捨去)．
聯立方程解得，捨去．
聯立方程， 解得
∴ 為同時滿足三個條件的點．
【總結昇華】本題綜合性較強，用距離公式時要注意轉化為方程的一般形式．
例3．求直線關於直線對稱的直線的方程．
【思路點撥】1. 曲線的對稱通常轉化為點的中心對稱或軸對稱（這裡既可選特殊點，也可選任意點實施轉化）．
2. 由平面幾何知識可知，若與關於對稱，則應具有下列幾何性質：
（1）若點a在直線上，則a點關於的對稱點b一定在直線上，即為線段的垂直平分線（，ab的中點在上）；
（2）設是所求直線上一點，則p關於的對稱點的座標適合直線的方程；
（3）若與相交，則過與交點，只需求出交點和乙個對稱點，利用兩點式就可以求出答案；若，則，三條直線的斜率相等，只需再求出乙個對稱點，利用點斜式可以求出答案．
【解析】方法一：在直線上取一點，設a點於的對稱點，
則，解得，
由，解得交點．
由兩點式可求得直線的方程：．
方法二：設是所求直線上任一點；設關於的對稱點，
則有：，解得
∵在直線上，
∴，整理得，
故所求直線的方程：．
【總結昇華】1. 對稱問題是高考的熱點之一，一般包括點關於點對稱，直線關於點對稱，點關於直線對稱，直線關於直線對稱，要掌握通解通法和記憶一些常用結論．
解析幾何初步知識點
一 直線與方程 1 直線的傾斜角 定義 x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當直線與x軸平行或重合時,我們規定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值範圍是0 180 2 直線的斜率 定義 傾斜角不是90 的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反...
第二章解析幾何初步 A
時間 120分鐘滿分 150分 一 選擇題 本大題共12小題，每小題5分，共60分 1 下列敘述中不正確的是 a 若直線的斜率存在，則必有傾斜角與之對應 b 每一條直線都有唯一對應的傾斜角 c 與座標軸垂直的直線的傾斜角為0 或90 d 若直線的傾斜角為 則直線的斜率為tan 2 如果直線ax 2y...
平面解析幾何初步知識點
一 直線的概念與方程 1.直線的傾斜角 在直角座標系中，對於一條與x軸相交的直線l，把x軸 正方向 按 方向繞著交點旋轉到所成的角，叫做直線l的傾斜角。當直線l和x軸平行時，它的傾斜角為0o.傾斜角通常用 表示，傾斜角 的範圍是 2.直線的斜率 傾斜角的 值叫做直線的斜率。通常用字母k來表示，即 當...