富源縣第一中學
高考解析幾何試題一般共有4題(2個選擇題, 1個填空題, 1個解答題), 共計30分左右, 考查的知識點約為20個左右. 其命題一般緊扣課本, 突出重點, 全面考查. 選擇題和填空題考查直線, 圓, 圓錐曲線, 引數方程和極座標系中的基礎知識.
解答題重點考查圓錐曲線中的重要知識點, 通過知識的重組與鏈結, 使知識形成網路, 著重考查直線與圓錐曲線的位置關係, 求解有時還要用到平幾的基本知識, 這點值得考生在復課時強化.
一、圓錐曲線的幾類基本習題
一. 弦的中點問題
具有斜率的弦中點問題，一般設曲線上兩點為，，代入方程，然後兩方程相減，再應用中點關係及斜率公式，消去四個引數。
例1 給定雙曲線。過a（2，1）的直線與雙曲線交於兩點及，求線段的中點p的軌跡方程。
分析：設，代入方程得，。
兩式相減得
。又設中點p（x,y），將，代入，當時得
。又，代入得。
當弦斜率不存在時，其中點p（2，0）的座標也滿足上述方程。因此所求軌跡方程是。
例2 已知橢圓，通過點（1，1）引一弦，使它在這點被平分，求此弦所在的直線方程。
略解：有，代入得
0，得。
從而直線方程是。
此題將橢圓變為雙曲線、拋物線都是同一方法。
二. 焦點三角形問題
橢圓或雙曲線上一點p，與兩個焦點、構成的三角形問題，常用正、餘弦定理搭橋。
例3 設p(x,y)為橢圓上任一點，，為焦點，，。
（1）求證離心率；
（2）求的值；
（3）求的最值。
分析：（1）設，，由正弦定理得。
得 ，
。（2），採用合分比定理得
（3）。
當時，最小值是；
當時，最大值是。
三. 存在兩點關於直線對稱問題
在曲線上兩點關於某直線對稱問題，分三步：求兩點所在的直線，求這兩直線的交點，使這交點在圓錐曲線形內。
例4 已知橢圓c的方程，試確定m的取值範圍，使得對於直線，橢圓c上有不同兩點關於直線對稱。
分析：橢圓上兩點，，代入方程，相減得
。 又，，，代入得。
又由解得交點。
交點在橢圓內，則有。得。
例5 為了使拋物線上存在兩點關於直線對稱，求m的取值範圍。
略解：兩點所在直線與聯立求出交點，代入拋物線內，有，解得。
四. 兩線段垂直問題
圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用來處理。
例6 已知直線的斜率為，且過點，拋物線，直線與拋物線c有兩個不同的交點（如圖）。
（1）求的取值範圍；
（2）直線的傾斜角為何值時，a、b與拋物線c的焦點連線互相垂直。
分析：（1）直線代入拋物線方程得，
由，得。
（2）由上面方程得，
，焦點為。
由，得，或
。例7 經過座標原點的直線與橢圓相交於a、b兩點，若以ab為直徑的圓恰好通過橢圓左焦點f，求直線的傾斜角。
分析：左焦點f(1,0)， 直線y=kx代入橢圓得，
，。由af知。將上述三式代入得，或。
二、直線與圓錐曲線位置關係以及圓錐曲線的有關最值問題
基本知識點：
（1）求解直線與圓錐曲線的位置關係的基本方法是解方程組，進而轉化為一元二次方程後利用判別式，應特別注意數形結合的辦法。
（2）注意韋達定理的應用。
弦長公式：斜率為k的直線被圓錐曲線截得弦ab，若a、b兩點的座標分別是a(x1，y1)，b(x2，y2)則
（3）注意斜率不存在的情況的討論和焦半徑公式的使用。
（4）有關中點弦問題
<1>已知直線與圓錐曲線方程，求弦的中點及與中點有關的問題，常用韋達定理。
<2>有關弦的中點軌跡，中點弦所在直線方程，中點座標問題，有時採用「差分法」可簡化運算。
（5）有關圓錐曲線的對稱問題
這兩個關鍵條件，同時要記住一些特殊的對稱關係，如關於座標軸對稱，關於點對稱，關於直線y=±x+b對稱。
（6）圓錐曲線中的有關最值問題，常用代數法和幾何法解決。
<1>若命題的條件和結論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質來解決。
<2>若命題的條件和結論體現明確的函式關係式，則可建立目標函式（通常利用二次函式，三角函式，均值不等式）求最值。
【例題選講】
例1. 已知拋物線y2=2px(p>0)。過動點m（a，0）且斜率為l的直線l與該拋物線交於不同的兩點a、b
（2）若線段ab的垂直平分線交ab於q，交x軸於點n，試求三角形mnq的面積。
解：（2）設q(x3，y3)由中點座標公式得
又三角形mnq為等腰直角三角形
例2.線過c、d、e三點，且以a、b為焦點，求雙曲線的離心率。（2023年，全國高考）
解：以ab的垂直平分線為y軸，直線ab為x軸，建立直角座標系xoy，則cd⊥y軸，因為雙曲線經過點c、d，且以a、b為焦點，由雙曲線的對稱性知c、d關於y軸對稱。
h是梯形的高。
由定比分點座標公式，得點e的座標為
由點c、e在雙曲線上，得
小結：此題涉及解析幾何的最根本問題：如何建立座標系，這也是對學生基本能力的考查，座標系是一種工具，如果用得好，可以給解題帶來方便，但考試時我們不可能對各種情況進行討論，一般而言，可從對稱的角度去考慮。
例3.（1）求證：直線與拋物線總有兩個不同交點
（2）設直線與拋物線的交點為a、b，且oa⊥ob，求p關於t的函式f(t)的表示式。
值範圍。（2023年·上海高考）
（1）證明：拋物線的準線為
由直線x+y=t與x軸的交點（t，0）在準線右邊，得
故直線與拋物線總有兩個交點。
（2）解：設點a(x1，y1)，點b(x2，y2)
（3）解：
例4.（1）求橢圓方程；
（2）是否存在直線l，使l與橢圓交於不同的兩點m、n，且線段mn恰被直線平分，若存在，求出l的傾斜角的範圍；若不存在，請說明理由。
（1）解：
把(2)代入(1)式中得：
例5.點，若以m(2，1)為焦點，橢圓e的右準線為相應準線的雙曲線c和直線ab交於點n(4，-1)，且橢圓的離心率e與雙曲線離心率e1之間滿足ee1=1，
（1）求橢圓e的離心率e；
（2）求雙曲線c的方程。
解：（1）因為點m(2，1)，點n(4，-1)
（2）因為ee1=1
設雙曲線c上一點p(x，y)
化簡得雙曲線c的方程：
例6. 已知拋物線y2=x上有一條長為l的動弦ab，求ab的中點m到y軸的最短距離。
解：設中點m的座標為（x，y），利用對稱性可設a(x+u，y+v)，b(x-u，y-v)，依題意有
將（4）（5）代入（3）得：
此即m點的方程
三、解析幾何中減少計算量的常用方法
在教學中，學生普遍覺得解析幾何問題的計算量較大。事實上，如果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達定理、曲線系方程，以及運用「設而不求」的策略，往往能夠減少計算量。下面舉例說明。
一. 充分利用幾何圖形
解析幾何的研究物件就是幾何圖形及其性質，所以在處理解析幾何問題時，除了運用代數方程外，充分挖掘幾何條件，並結合平面幾何知識，這往往能減少計算量。
例1. 已知直線及，求它們所圍成的三角形的外接圓方程。
解：由直線與的斜率分別為和，得此兩條直線互相垂直，即此三角形為直角三角形。
由及，可求得直角三角形的斜邊所在的兩個頂點分別為。所求三角形的外接圓，即為以a（2，2）和b（8，8）為直徑端點的圓，其方程為
評注：此題若不首先利用三角形是直角三角形這一中間結論，而先求三角形的三個頂點，再解三元一次方程組求圓的一般方程，將會大大增加計算量。
例2. 已知點p（5，0）和圓o：，過p作直線與圓o交於a、b兩點，求弦ab中點m的軌跡方程。
解：點m是弦ab中點，點m是在以op為直徑的圓周上，此圓的圓心為，半徑為，所以其方程為，即。同時，點m又在圓的內部，，即，所以所求的軌跡方程為
評注：此題若不能挖掘利用幾何條件，點m是在以op為直徑的圓周上，而利用引數方程等方法，計算量將很大，並且比較麻煩。
例3. 求與軸相切，圓心在直線上，且被直線截得的弦長等於的圓的方程。
解：因圓心在直線上，故可設圓心
又圓與軸相切，，
此時可設圓方程為
（運用已知條件，找出間聯絡，盡可能把未知量的個數減少，這對簡化計算很有幫助。）
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