解析幾何的本質特徵是幾何問題代數化，就是將抽象的幾何問題轉化為易於計算的代數問題，這提供了許多便利；但也不可避免地造成許多計算的繁瑣，同時對運算能力提出較高要求。其實，只要有簡化運算的意識，注意探索簡捷運算的技巧，並適時進行有關的規律總結，許多較為繁瑣的計算過程是可以簡化甚至避免的。
1.回歸定義
圓錐曲線的定義是圓錐曲線的本質屬性。許多美妙而有趣的性質和結論都是在其定義的基礎上展開的，在分析求解時若考慮回歸定義，可以使許多問題化繁為簡。
例1 過橢圓左焦點傾斜角為的直線交橢圓於點且，則此橢圓離心率為
解析本題的常規解法是：聯立再結合條件求解，運算量大，作為填空題，不划算！如圖1，考慮使用橢圓的定義和有關平面幾何性質來求解：
，另一方面，在中,
故於是，
又，所以可得
例2 一種酒杯是拋物線繞軸旋轉而成的，將長為的玻璃棒（質地均勻）隨意的放入酒杯內（杯壁足夠高，能沒入玻璃棒），試確定玻璃棒的平衡位置。
解析：確定平衡位置即求玻璃棒中點到軸距離的最小值，
如圖2，應用拋物線的定義進行簡捷求解：當時弦
可以經過焦點，如圖2所示：，所以
顯然當時平行於軸時最小為
2．活用平幾性質
解決解析幾何的運算問題，往往需要求解涉及含多個引數的兩個以上方程組成的方程組，運算較為複雜，運算能力稍差的同學難以準確迅速求解，甚至半途而廢；若能聯想題目所涉及圖形的幾何性質，並利用有關幾何性質來解決問題，常常可以峰迴路轉，收簡捷巧妙解題之效果.
例3 已知點到兩定點的距離比為，點到直線的距離為1，求直線的方程。(02年全國高考題)
解析本題若按常規做法為： 設，則的方程為，
即，於是
又（注：滿足上述條件的點的軌跡為阿波羅尼奧圓即圓）
將代入可得，於是
因此直線的方程為
若能進一步觀察題設條件：如圖3，在中斜邊，直角邊
可得，在中由正弦定理得
於是因此直線的方程為
評注：本題為02年全國高考文科第21題，分值為14分，重點考查學生通過聯立消參解方程組的運算能力，對文科學生的運算能力提出了較高的要求；通過上述通法與巧法對比，讀者容易看出：運用平面圖形的有關幾何性質來分析解決一些解析幾何的問題，可以有效地避免複雜的解幾運算，以達簡捷解題之目的。
例4 某人在一山坡處**對面山頂上的一座鐵塔，如圖4所示，塔高公尺，塔所在的山高公尺，公尺，圖中所示的
山坡可視為直線且點在直線上，與水平地面的夾角為
，試問此人距離水平地面多高時，**塔的視角
最大（不計此人身高）？（05年天津卷高考題）
解析解析法可詳參高考評分標準，
這裡給出利用平面幾何知識的簡捷解法：
如圖5，作圓過點且與直
線相切，切點的縱座標即為所求。
設直線與軸交於點，則易
得由圓冪定理得
於是為所求.
注：這道源於生活實際的高考試題，具有深厚的科學背景---**於幾何學史上著名的公尺勒問題：「設點是銳角的一邊上的兩點，試在邊上找一點，使得最大。」
如圖6，其結論是：點為過兩點且和射線相切的圓的切點（證明略）
以公尺勒問題為背景改造的高考題和競賽題還有
０４年全國聯賽題第１２題：在平面直角座標系中，給定兩點，點在軸上移動，當取最大時，點的橫座標為
05年浙江卷理第17題：如圖7，已知橢圓的中心
在座標原點，焦點在x軸上，長軸的長為4，
左準線與x軸的交點為m，|ma1|∶|a1f1|＝2∶1．
(ⅰ)求橢圓的方程；(ⅱ)若直線：x＝m(|m|＞1)，p
為上的動點，使最大的點p記為q，求點q的
座標(用m表示)(文科為：若點p為上的動點，求∠f1pf2最大值)
上述試題若使用圓冪定理來求解，都極為簡單（略）。
例5 已知內接於圓的的頂點為，求的重心的軌跡方程。
解析本題若設，則有，，
，，再由夾角公式得，
由以上5個等式消去引數得。
值得注意的是：消參具有很高的技巧，一般學生難以做到！這裡給出以下做法：
如圖8，設為的中點，鏈結，則由得故點的軌跡方程為
設重心, , 則
代入式可得.
下面用運動變化的觀點考察點的橫座標的取值範圍：如圖9,點運動的極限位置是,這時，於點，則且，作於點得點最靠左的位置為時，此時於是解得
故所求軌跡方程為
注 1本題若用三角法可解如下：設，
由知，設則
，於是。
又而，，
故所求軌跡方程為
2 若是用通法，結合圖形的幾何性質可簡解如下：
由，，，
得而由得，
故。（限制變數的取值範圍方法同上）
3．數形結合
對於某些幾何特徵比較明顯的問題，常可從分析圖形本身所固有的幾何特徵入手，或從運動變化的觀點來分析考察圖形中某些量的變化規律，往往可簡捷獲解。
例6是已知橢圓上的兩點，線段垂直平分線與軸交於點，求證：（92年全國卷）
簡析著眼於尋求「線段垂直平分線」的幾何意義，可考慮構造圓
（如圖10）①，
它與橢圓②有四個不同交點（或3個，
當之一為長軸端點時），由①②消去得
-③，方程③有兩個不同實根，則，即。
，又， .
例7 設點，動點在橢圓上且滿足
，試求的取值範圍。
解析本題簡捷的解法是從數形結合的角度用運動
變化的觀點進行考察：如圖11所示，三點共線，當
時為最小；將直線繞點逆時針旋轉至相切（重合）有；迴轉至有為最大，故有
4．巧設引數
若涉及較為複雜的動點關係，可以通過設定引數溝通其聯絡。如何巧設引數？應視題目具體特點而定，或多或少，並講究消參技巧。如上例7：
設,則，，
， 代入式得
又，即解得
注：本題解題過程中涉及5個引數，從上述解答過程不難看出講究消參的技巧對於簡捷解題的指導作用。通過巧設引數進行嚴密推理，可看上例2：
設：代入得
，， 即
又 ，
， ， ，
即 ，
令得（1）若即（通徑長）則當且僅當即時，，即，，這時玻璃棒過焦點
（2）若，即則在單調遞增，當且僅當即時，，這時0，，玻璃棒呈水平狀態（垂直於軸）.
總上可知，當棒長時平衡位置為軸上方處的平面上，以點為圓心，以為半徑長的圓；當棒長時，玻璃棒放置呈水平狀態，平衡位置在點0，處。
與此問題相關的二則高考題：
1．長度為4的線段的兩個端點在拋物線上移動，試求線段的中點到軸距離的最小值。（87年全國高考題）
本題正是例2在的特殊情況：此時
2．如圖12，點為拋物線上的一點，直線過點
並與拋物線在點處的切線垂直，與拋物線相交於另一
點（ⅰ）當點的橫座標為2時，求直線的方程；
（ⅱ）當點在拋物線上移動時，求線段中點的軌跡
方程，並求點到軸的最短距離。（04年福建卷文科第21題）
（答案為（ⅰ）（ⅱ））
5．平方差法
與對稱、弦的中點等有關的問題，常考慮設而不求（或稱「平方差法」）。如上例6：
設，，ab的中點為，
則，，二式相減得
， 則直線l的方程為令得
又，所以。
6．引入向量
用向量形式敘述題設條件，或引入向量分析解決解析幾何問題，已經成為處理解幾問題的基本方法，也是高考設計試題考查相關能力的一大特點。
例8 已知橢圓，直線l：，p是l
上一點，射線op交c於點r。又點q在射線op上且滿足：
，當點p在l上移動時，求點q的軌跡方程。
解析本題若用一般方法求解，需要引入5個引數，還
要討論去絕對值，詳參2023年全國高考評分標準。若引入向量法求解，則直觀而簡易：
如圖13，設
將r，p點的座標分別代入c，l的方程可得，
，消去得即為所求。
7．重新建系
選取恰當的座標系，本意即為簡捷巧妙解決問題而設。在涉及與圓錐曲線的焦半徑或焦點弦長度有關的問題時，可以考慮建立極座標系進行簡捷求解。如上述例1，以點f為極點以射線fx為極軸重新建立極座標系，可設此橢圓的極座標方程為根據題意得，故有
8．優化通法
通性通法應用廣泛，是解決問題最基本而又最常規的方法。回歸通法，是最起碼的訓練要求；況且巧法通過不斷強化就可以成為通法；通法做到底，也能有新意！而且熟能生巧，通法常常是產生新思想新解法的基石。
如上例7，我們已運用數形結合、設參消參方法予以解決，若再求兩點重合時點的座標，上述兩法就難以奏效了，可考慮通法：
設直線的方程為，代入並整理得
，由得代入得
再代入得
由得即當不存在時或5。於是為所求。
減少解析幾何運算量的若干方法
在解決有些解析幾何問題時，如果方法選擇不當，往往導致計算量過大，如果不具備較高的解幾運算能力，就不易得到正確的運算結果。那麼如何正確地選擇方法，減少解析幾何題的計算量呢？下面介紹幾種減少計算量的常用方法。一 回歸定義，以簡馭繁 圓錐曲線的許多性質是由定義派生出來的。解題時，應善於運用圓錐曲線的定義，...
經典解析幾何題型方法
高考專題 解析幾何常規題型及方法 高考核心考點 1 準確理解基本概念 如直線的傾斜角 斜率 距離 截距等 2 熟練掌握基本公式 如兩點間距離公式 點到直線的距離公式 斜率公式等 3 熟練掌握求直線方程的方法 如根據條件靈活選用各種形式 討論斜率存在和不存在的各種情況 截距是否為0等等 4 在解決直線...
高中解析幾何初步方法小結
平面解析幾何初步 常用方法 公式總結 一 基本公式 1 數軸上向量關係式 2 數軸上向量座標公式 3 數軸上兩點距離公式 4 兩點間距離公式 5 中點座標公式 二 直線的傾斜角與斜率 1 軸正向與直線向上的方向所成的角叫做這條直線的傾斜角。2 傾斜角為的直線無斜率，另外，每條直線都存在唯一的傾斜角，...