在解決有些解析幾何問題時，如果方法選擇不當，往往導致計算量過大，如果不具備較高的解幾運算能力，就不易得到正確的運算結果。那麼如何正確地選擇方法，減少解析幾何題的計算量呢？下面介紹幾種減少計算量的常用方法。
一、 回歸定義，以簡馭繁
圓錐曲線的許多性質是由定義派生出來的。解題時，應善於運用圓錐曲線的定義，以數形結合的思想為指導，把定量的分析有機結合起來，則可使解題計算量大為簡化，使解題構築在較高的水平上。
例1、在面積為1的δpmn中，∠=,∠,建立適當的座標系，求以m、n為焦點且過點p的橢圓方程(93年高考題)
分析：在該題的題設條件中，其實是給出了δpmn的兩內角的大小及它的面積。因此我們應考慮如何應用平幾知識和橢圓定義將問題解決。
解：建立如圖1所示的座標系，設所求的橢圓方程為，則由橢圓定義有，，過點向軸作垂線，垂足為，
∠，∠。由平面幾何知識有:
,，，，
。所求的橢圓方程為
說明：在上述解題過程中，是所求橢圓的長軸長，它是減輕本題運算量的關鍵。
例2、長度為a的線段ab的兩端點在拋物線=2py(a≥2p>0)上運動，以ab的中點c為圓心作圓和拋物線的準線相切，求圓的最小半徑（85年湖北省六市高考預選題）。
分析:這裡其實就是要求定長弦ab的中點c到準線的最小距離。由於ab中點到準線的距離等於ab兩端點到準線的距離的算術平均值，所以問題就進一步轉化為求a、b兩點到準線距離之和的最小值。
由拋物線的定義知：a、b兩點到準線的距離分別等於它們到焦點的距離，所以當線段a、b過焦點時，a、b兩點到焦點的距離之和取得最小值，這時a、b兩點到準線的距離之和也取得最小值，所以點c到準線的距離取得最小值。
解：如圖2，過弦ab的兩端分別作準線的垂線，垂足為g、h,又設圓c與拋物線的準線切於d,設拋物線的焦點f,連cd、af、bf。由拋物線的定義，，且
≥a。上式中的等號當且僅當ab過焦點f時成立。所以圓c的最小半徑是a.
說明：因為過拋物線焦點的弦中，弦長最小的是通徑（即過焦點且與對稱軸垂直的弦），由於通徑長為，所以拋物線的定長弦的長度大於等於時，本例的上述解法才成立，如果時，弦ab就不可能經過拋物線的焦點，這時應該是當ab與軸垂直時，ab中點c到準線的距離最小。
設ab所在直線方程為，將它代入拋物線方程，得：，∴，
∴∴，∴，故點c到準線的距離為。所以這時圓c的最小半徑為
例3、設是曲線上三點，求證：△的垂心也在該曲線上。
分析：證垂心在曲線上，故只需求之值，而無需求、。
解：、、。則從而知
同理，故有，並消去得：
二、 設而不求，整體運算
在某些解析幾何問題中，靈活把握曲線方程的特點，採用設而不求、整體代入、整體運算等方法，常可以簡化運算過程，提高解題速度，並從中感到整體思維的和諧美。
例4、橢圓上有兩點p、q，是原點，若op、oq斜率之積為。（1）求證：|op|2+|oq|2為定值。（2）求pq的中點m的軌跡方程。
解：（1）設p、q的兩點座標分別為、q,p、q分別在橢圓上，且，
得（3）代入（4）得，（1）+（2）得
。（2）設p、q的中點m的座標為m，則有，，
（1）+（2）+（3）得，。
即：，中點m的軌跡方程為
三、 充分運用圖形幾何性質，簡化（或避免）計算
解析幾何中，曲線或圖形都具有某些特殊的幾何性質，若能發掘並充分運用這些幾何性質，往往能簡化運算或避免運算。
例5、已知圓，動圓與軸相切，又與圓外切，過作動圓的切線，求切點的軌跡。
解：設動圓與軸切於點，動圓與定圓切於點，切點在，，故∠=∠，從而∠=∠，、、共線。由切割線定理，（9）。又在△中，⊥，故（10）。由（9）、（10），知。故的軌跡為圓（）
說明：該題解題過程簡捷，運算量小，主要得益於
利用平幾知識推導出
例6、已知是圓內的一定點，以為直角頂點作直角△，、在圓上。求的中點m的軌跡方程。
解：如圖所示，設，鏈結在△中，是的中點，⊥，。在△中，。。。點的軌跡方程為。
說明：這裡利用直角三角形斜邊上的中線等於斜邊長的一半，因此有。從而不必進行複雜的運算就可將問題解決。
在初中平面幾何中詳細介紹過直線與圓的位置關係、圓與圓的位置關係以及圓的一些性質，所以在解有關直線與圓、圓與圓的有關問題時更要注意充分利用圖形的幾何性質，這樣必將大大減少運算量。
四、 用「降維法」減少計算量
變數的個數也稱「維數」。確定直角座標平面上的點只需兩個量，因而直角座標平面稱為二維空間；但確定直線上的點只需乙個量，直線稱為一維空間。某些解析幾何問題能通過投影等方法化為只與橫座標（或縱座標）有關的問題，這種把高維空間問題轉化為低維空間的方法稱為降維法。
例7、已知；直線和曲線交於、兩點，是這條直線上的點，且。求當變化時，點的軌跡方程，並說明軌跡是什麼圖形（85年上海考題）
解：設、、在軸上的射影分別是、、，，，這裡是直線的傾斜角，。，，即，（此式只與有關）也就是（1）將代入得：
（2），。將它們代入（1），得（3）再將代入（3）以消去，即得軌跡方程。由於方程（2）當且僅當≥0時有實根（即直線與二次曲線有交點），因此≤≤。
所以所求的軌跡是夾在兩條平行直線和之間的橢圓的一部分，以及點。
例8：如圖，給出定點和直線，b是直線上的動點，的角平分線交ab於點c，求點c的軌跡方程，並討論方程表示的曲線型別與值的關係。
解：設點c的座標為，則ac的方程為：，於是b。由角平分線性質知：。設c在軸上的射影為，於是ac與cb之比等於它們在軸上的射影之比，即。又由於ob∴有。
∴點c的軌跡方程為：。（ⅰ）當時，點c的軌跡為橢圓；（ⅱ）當時，點c的軌跡為拋物線（ⅲ）當時，點c的軌跡為雙曲線。
說明：將ac與cb之比轉化為它們在軸上的射影之比，從而轉化為a、c、b三點橫座標有關的比值，是該例解題過程中能夠減少運算量的關鍵。
五、 利用韋達定理化繁為簡
某些涉及線段長度關係的問題可以通過解方程、求座標，用距離公式計算長度的方法來解；但也可以利用一元二次方程，使相關的點的同名座標為方程的根，由韋達定理求出兩根間的關係或有關線段長度間的關係。後者往往計算量小，解題過程簡捷。
例9、一直線截雙曲線和它的漸近線，證明夾在漸近線與雙曲線間的線段相等。（《數學通報》80年第6期）
分析：如圖，要證夾在漸近線間的線段相等，即證，只要證，即證：，於是只要證：ad的中點與bc的中點重合即可
證明：如圖設雙曲線方程為（），則它的漸近線方程為設直線與雙曲線的兩支和它的兩條漸近線交於（從左到右）、、、。由，消去得：。設其兩根為、，依韋達定理，有：。由，消去得：。
設其兩根為、，依韋達定理，有：。因此，，即。由於， 。當直線垂直於軸時結論顯然成立。
說明：a、d兩點是直線與雙曲線的兩交點，所以將直線方程與雙曲線聯立，不解方程可以求出ad中點的座標；而b、c兩點是直線與雙曲線兩漸近線的兩交點，方程是兩漸近線的合成，因此只要將直線方程與兩漸近線的合成方程聯立，不解方程可以求出b、c中點的座標，而不必分別求直線與兩條漸近線的交點。
例10、已知圓，及直線交於、，圓的動弦的中點在上，是否存在拋物線，恆與直線相切。
解：連。令,則, ,。
故。（1）視（1）為的一元二次方程，點在直線上≥0≥（2）。由（2）知直線上的點在拋物線的外部區域（不含焦點的區域）或在拋物線上。
將的方程代入中得，。故存在拋物線恆與相切。
六、 換元引參，功於滲透
換元引參是一種重要的數學方法，特別是解析幾何中的最值問題、不等式問題等換元引參，往往起到化難為易、事半功倍之效。在換元過程中，還要注意代換的等價性，防止擴大或縮小原來變數的取值範圍或變原題條件。
例11、已知橢圓，、是橢圓上的兩點，線段的垂直一平分線與軸交於點，證明（92高考題）
[分析]：要證的是不等差數列式，由此聯想到正余弦函式的有界性，聯想到三角換元。
證明：、兩點在橢圓上，設、，，則
中點, ,又,故，的垂直平分線的方程為。點在直線上，其座標滿足上面的方程， ，
，又，且。，又因，，從而
七、 選用方程適當形式，減少運算量
例12、離心率為的圓錐曲線中，過焦點f的對稱軸與相應準線交於，過f的弦交曲線於m、n兩點，過a而平行於mn的直線交曲線於b、c兩點。求證：（摘自《數學通報》）
解：設圓錐曲線的方程為：（1）
mn的方程為：（為引數）（2）將（2）代入（1），有：，，設ac的方程為（為引數）（3）將（3）代入（1）有：，。
。 例13、過橢圓（）的中心o作互成角的三條半徑、、，求證：為定值。
解：橢圓的普通方程化為極座標方程：。設與軸所成的角為，由題意知、與軸分別成、的角。
（定值）。
由例12、例13可見，方程形式的選擇要適當（讀者可對照《數學通報》85年第3期第15頁的解法）。一般地，涉及過定點的同一直線上的線段的和、差、積等問題，用直線的引數方程較好；涉及過圓錐曲線的焦點（或中心）的線段問題，曲線用極座標方程為好。
八、巧用圓心，避免複雜運算
當我們需求解圓周上一動點到二次曲線上一動點距離的最值問題時，如用「心」去解，則可避免複雜運算，達到化繁為簡的效果。
例14、己知點p是橢圓上一動點，點q是圓上一動點，試求|pq|的最大值。
分析：如圖8，當點、、q不共線時，，因此，要求|pq|的最大值，就應該使達到最大，即圓的圓心到橢圓上的動點p之間距離達到最大，將該最大值加半徑就得所求。
解：先求點到橢圓上任一點p的距離的最大值。
設，於是,
=∴當時，取最大值，∴取最大值，於是。
說明：、若該題直接設、，則是乙個含有與的二元最值問題，我們不易對它作進一步的運算，因此不能直接計算。
、若我們從圖形的特點出發，認為圖8中（即圓與軸上方的交點）十分特殊，它與橢圓上點p的距離，則會產生錯誤，，所以在該題求解過程中，沒有利用價值。
、若在例題中增加求當達到最大值時，p、q兩點的座標，則應先求p點座標。的延長線與圓的交點就是達到最大值時q點的座標。
、從本例題的求解過程中，可以發現圓心的作用十分突出。當我們求解這類最值時，就應用「心」去解，才能避免複雜運算，化繁為簡。
練習：1、己知為橢圓的兩個焦點，過作橢圓的弦ab。
（1）求證：的周長為常數（2）若的周長為16，橢圓離心率，求橢圓的方程。
簡化解析幾何運算方法
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