解析幾何問題的題型與方法專題
一、考綱解讀
高考解析幾何試題一般共有4題(2個選擇題, 1個填空題, 1個解答題)，共計30分左右，考查的知識點約為20個左右。 其命題一般緊扣課本，突出重點，全面考查。選擇題和填空題考查直線、圓、圓錐曲線、引數方程和極座標系中的基礎知識。
解答題重點考查圓錐曲線中的重要知識點，通過知識的重組與鏈結，使知識形成網路，著重考查直線與圓錐曲線的位置關係，求解有時還要用到平幾的基本知識和向量的基本方法，這一點值得強化。
二、重點知識回顧
(一)圓及其方程
1.圓的標準方程
（r＞0），稱為圓的標準方程，其圓心座標為（a，b），半徑為r.
特別地，當圓心在原點（0，0），半徑為r時，圓的方程為.
2.圓的一般方程
（＞0）稱為圓的一般方程，
其圓心座標為（，），半徑為.
當=0時，方程表示乙個點（，）；
當＜0時，方程不表示任何圖形.
3.圓的引數方程
圓的普通方程與引數方程之間有如下關係：
為引數）
為引數）
(二)橢圓及其標準方程
1.橢圓的定義：橢圓的定義中，平面內動點與兩定點、的距離的和大於||這個條件不可忽視.若這個距離之和小於||，則這樣的點不存在；若距離之和等於||，則動點的軌跡是線段.
2.橢圓的標準方程：（＞＞0），（＞＞0）.
3.橢圓的標準方程判別方法：判別焦點在哪個軸只要看分母的大小：如果項的分母大於項的分母，則橢圓的焦點在x軸上，反之，焦點在y軸上.
4.求橢圓的標準方程的方法：⑴ 正確判斷焦點的位置；⑵ 設出標準方程後，運用待定係數法求解.
(三)橢圓的簡單幾何性質
1.橢圓的幾何性質：設橢圓方程為（＞＞0）.
⑴ 範圍： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以橢圓位於直線x=和y=所圍成的矩形裡.
⑵ 對稱性：分別關於x軸、y軸成軸對稱，關於原點中心對稱.橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心.
⑶ 頂點：有四個（-a，0）、（a，0）（0，-b）、（0，b）.
線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸.它們的長分別等於2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長. 所以橢圓和它的對稱軸有四個交點，稱為橢圓的頂點.
⑷ 離心率：橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率.它的值表示橢圓的扁平程度.0＜e＜越接近於1時，橢圓越扁；反之，e越接近於0時，橢圓就越接近於圓.
2.橢圓的第二定義
⑴ 定義：平面內動點m與乙個頂點的距離和它到一條定直線的距離的比是常數
（e＜1＝時，這個動點的軌跡是橢圓.
⑵ 準線：根據橢圓的對稱性，（＞＞0）的準線有兩條，它們的方程為.對於橢圓（＞＞0）的準線方程，只要把x換成y就可以了，即.
3.橢圓的焦半徑：由橢圓上任意一點與其焦點所連的線段叫做這點的焦半徑.
設（-c，0），（c，0）分別為橢圓（＞＞0）的左、右兩焦點，m（x，y）是橢圓上任一點，則兩條焦半徑長分別為，.
橢圓中涉及焦半徑時運用焦半徑知識解題往往比較簡便.
橢圓的四個主要元素a、b、c、e中有=+、兩個關係，因此確定橢圓的標準方程只需兩個獨立條件.
(四)橢圓的引數方程
橢圓（＞＞0）的引數方程為（θ為引數）.
說明 ⑴ 這裡引數θ叫做橢圓的離心角.橢圓上點p的離心角θ與直線op的傾斜角α不同：；
⑵ 橢圓的引數方程可以由方程與三角恒等式相比較而得到，所以橢圓的引數方程的實質是三角代換.
(五)雙曲線及其標準方程
1.雙曲線的定義：平面內與兩個定點、的距離的差的絕對值等於常數2a（小於||）的動點的軌跡叫做雙曲線.
在這個定義中，要注意條件2a＜||，這一條件可以用「三角形的兩邊之差小於第三邊」加以理解.若2a=||，則動點的軌跡是兩條射線；若2a＞||，則無軌跡.
若＜時，動點的軌跡僅為雙曲線的乙個分支，又若＞時，軌跡為雙曲線的另一支.而雙曲線是由兩個分支組成的，故在定義中應為「差的絕對值」.
2.雙曲線的標準方程：和（a＞0，b＞0）.這裡，其中||=2c.要注意這裡的a、b、c及它們之間的關係與橢圓中的異同.
3.雙曲線的標準方程判別方法是：如果項的係數是正數，則焦點在x軸上；如果項的係數是正數，則焦點在y軸上.
對於雙曲線，a不一定大於b，因此不能像橢圓那樣，通過比較分母的大小來判斷焦點在哪一條座標軸上.
4.求雙曲線的標準方程，應注意兩個問題：⑴ 正確判斷焦點的位置；⑵ 設出標準方程後，運用待定係數法求解.
(六)雙曲線的簡單幾何性質
1.雙曲線的實軸長為2a，虛軸長為2b，離心率＞1，離心率e越大，雙曲線的開口越大.
2. 雙曲線的漸近線方程為或表示為.若已知雙曲線的漸近線方程是，即，那麼雙曲線的方程具有以下形式：
，其中k是乙個不為零的常數.
3.雙曲線的第二定義：平面內到定點（焦點）與到定直線（準線）距離的比是乙個大於1的常數（離心率）的點的軌跡叫做雙曲線.
對於雙曲線，它的焦點座標是（-c，0）和（c，0），與它們對應的準線方程分別是和.
在雙曲線中，a、b、c、e四個元素間有與的關係，與橢圓一樣確定雙曲線的標準方程只要兩個獨立的條件.
(七)拋物線的標準方程和幾何性質
1．拋物線的定義：平面內到一定點（f）和一條定直線（l）的距離相等的點的軌跡叫拋物線。這個定點f叫拋物線的焦點，這條定直線l叫拋物線的準線。
需強調的是，點f不在直線l上，否則軌跡是過點f且與l垂直的直線，而不是拋物線。
2．拋物線的方程有四種型別：
、、、.
對於以上四種方程：應注意掌握它們的規律：曲線的對稱軸是哪個軸，方程中的該項即為一次項；一次項前面是正號則曲線的開口方向向x軸或y軸的正方向；一次項前面是負號則曲線的開口方向向x軸或y軸的負方向。
3．拋物線的幾何性質，以標準方程y2=2px為例
（1）範圍：x≥0；
（2）對稱軸：對稱軸為y=0，由方程和影象均可以看出；
（3）頂點：o（0，0），注：拋物線亦叫無心圓錐曲線（因為無中心）；
（4）離心率：e=1，由於e是常數，所以拋物線的形狀變化是由方程中的p決定的；
（5）準線方程；
（6）焦半徑公式：拋物線上一點p（x1，y1），f為拋物線的焦點，對於四種拋物線的焦半徑公式分別為（p＞0）：
（7）焦點弦長公式：對於過拋物線焦點的弦長，可以用焦半徑公式推導出弦長公式。設過拋物線y2=2px（p＞o）的焦點f的弦為ab，a（x1，y1），b（x2，y2），ab的傾斜角為α，則有①|ab|=x+x+p
以上兩公式只適合過焦點的弦長的求法，對於其它的弦，只能用「弦長公式」來求。
（8）直線與拋物線的關係：直線與拋物線方程聯立之後得到一元二次方程：x+bx+c=0，當a≠0時，兩者的位置關係的判定和橢圓、雙曲線相同，用判別式法即可；但如果a=0，則直線是拋物線的對稱軸或是和對稱軸平行的直線，此時，直線和拋物線相交，但只有乙個公共點。
三、考點範例剖析
題型1 :圓錐曲線的概念、方程及性質
型別1：圓的方程
例1．(1)（2009遼寧卷文）已知圓c與直線x－y＝0 及x－y－4＝0都相切，圓心在直線x＋y＝0上，則圓c的方程為( b )
（a） (b)
(c) (d)
【解析圓心在x＋y＝0上,排除c、d,再結合圖象,或者驗證a、b中圓心到兩直線的距離等於半徑即可.
(2) （2023年高考福建卷理科2）以拋物線的焦點為圓心,且過座標原點的圓的方程為( )
a. b. c. d.
【答案】d
【解析】因為已知拋物線的焦點座標為（1，0），即所求圓的圓心，又圓過原點，所以圓的半徑為，故所求圓的方程為，即，選d。
【命題意圖】本題考查拋物線的幾何性質以及圓的方程的求法，屬基礎題。
型別2：橢圓的概念及標準方程
例2．（1）（2009廣東卷理）巳知橢圓的中心在座標原點，長軸在軸上，離心率為，且上一點到的兩個焦點的距離之和為12，則橢圓的方程為 ．
【解析】，，，，則所求橢圓方程為.
（2）（06天津理8）橢圓的中心為點，它的乙個焦點為，相應於焦點的準線方程為，則這個橢圓的方程是（ ）
【解析】橢圓的中心為點它的乙個焦點為
∴ 半焦距，相應於焦點f的準線方程為
∴，，則這個橢圓的方程是，選d。
型別3：橢圓的性質
例3．（10全國2）（12）已知橢圓的離心率為，過右焦點且斜率為的直線與相交於兩點．若，則
（a）1bcd）2
【命題意圖】本試題主要考察橢圓的性質與第二定義.
【解析】設直線l為橢圓的有準線，e為離心率，過a，b分別作aa1，bb1垂直於l，a1，b為垂足，過b作be垂直於aa1與e，由第二定義得，，由，得，∴
即k=，故選b.
例4．（2009全國卷ⅰ理）已知橢圓的右焦點為,右準線為，點，線段交於點，若,則=( a )
ab. 2cd. 3
【解析】過點b作於m,並設右準線與x軸的交點為n，易知fn=1.由題意,故.又由橢圓的第二定義,得.故選a
型別4：雙曲線的方程
例5．（1）已知焦點，雙曲線上的一點到的距離差的絕對值等於，求雙曲線的標準方程；
（2）求與橢圓共焦點且過點的雙曲線的方程；
（3）已知雙曲線的焦點在軸上，並且雙曲線上兩點座標分別為，求雙曲線的標準方程。
解析：（1）因為雙曲線的焦點在軸上，所以設它的標準方程為，
∵，∴，∴。
所以所求雙曲線的方程為；
（2）橢圓的焦點為，可以設雙曲線的方程為，則。
又∵過點，∴。
綜上得，，所以。
點評：雙曲線的定義；方程確定焦點的方法；基本量之間的關係。
（3）因為雙曲線的焦點在軸上，所以設所求雙曲線的標準方程為①；
解析幾何問題的題型與方法
一 知識整合 高考中解析幾何試題一般共有4題 2個選擇題,1個填空題,1個解答題 共計30分左右，考查的知識點約為20個左右。其命題一般緊扣課本，突出重點，全面考查。選擇題和填空題考查直線 圓 圓錐曲線 引數方程和極座標系中的基礎知識。解答題重點考查圓錐曲線中的重要知識點，通過知識的重組與鏈結，使知...
解析幾何問題的題型與解題方法
一 知識整合 高考中解析幾何試題一般共有4題 2個選擇題,1個填空題,1個解答題 共計30分左右，考查的知識點約為20個左右。其命題一般緊扣課本，突出重點，全面考查。選擇題和填空題考查直線 圓 圓錐曲線 引數方程和極座標系中的基礎知識。解答題重點考查圓錐曲線中的重要知識點，通過知識的重組與鏈結，使知...
高考複習 解析幾何問題的題型與方法
第14講解析幾何問題的題型與方法 一 知識整合 高考中解析幾何試題一般共有4題 2個選擇題,1個填空題,1個解答題 共計30分左右，考查的知識點約為20個左右。其命題一般緊扣課本，突出重點，全面考查。選擇題和填空題考查直線 圓 圓錐曲線 引數方程和極座標系中的基礎知識。解答題重點考查圓錐曲線中的重要...