解解析幾何題的方法大全
高考解析幾何試題一般共有4題，共計30分左右, 考查的知識點約為20個左右. 其命題一般緊扣課本, 突出重點, 全面考查. 選擇題和填空題考查直線, 圓, 圓錐曲線, 引數方程和極座標系中的基礎知識.
解答題重點考查圓錐曲線中的重要知識點, 通過知識的重組與鏈結, 使知識形成網路, 著重考查直線與圓錐曲線的位置關係, 求解有時還要用到平幾的基本知識, 這點值得考生在復課時強化.
例1 已知點t是半圓o的直徑ab上一點，ab=2、ot=t (0(1)寫出直線的方程；
（2）計算出點p、q的座標；
（3）證明：由點p發出的光線，經ab反射後，反射光線通過點q
講解: 通過讀圖, 看出點的座標.
(1 ) 顯然, 於是直線
的方程為；
（2）由方程組
解出 、；
（3）,
.由直線pt的斜率和直線qt的斜率互為相反數知，由點p發出的光線經點t反射，反射光線通過點q.
需要注意的是, q點的座標本質上是三角中的萬能公式, 有趣嗎?
例2 已知直線l與橢圓有且僅有乙個交點q，且與x軸、y軸分別交於r、s，求以線段sr為對角線的矩形orps的乙個頂點p的軌跡方程．
講解：從直線所處的位置, 設出直線的方程,
由已知，直線l不過橢圓的四個頂點，所以設直線l的方程為
代入橢圓方程得
化簡後，得關於的一元二次方程
於是其判別式
由已知，得△=0．即 ①
在直線方程中，分別令y=0，x=0，求得
令頂點p的座標為（x，y）， 由已知，得
代入①式並整理，得, 即為所求頂點p的軌跡方程．
方程形似橢圓的標準方程, 你能畫出它的圖形嗎?
例3已知雙曲線的離心率，過的直線到原點的距離是
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知直線交雙曲線於不同的點c，d且c，d都在以b為圓心的圓上，求k的值.
講解：∵（1）原點到直線ab：的距離.
故所求雙曲線方程為
（2）把中消去y，整理得.
設的中點是，則
即故所求k=±.
為了求出的值, 需要通過消元, 想法設法建構的方程.
例4 已知橢圓c的中心在原點，焦點f1、f2在x軸上，點p為橢圓上的乙個動點，且∠f1pf2的最大值為90°，直線l過左焦點f1與橢圓交於a、b兩點，△abf2的面積最大值為12．
（1）求橢圓c的離心率；
（2）求橢圓c的方程．
講解：（1）設, 對由餘弦定理, 得
，解出（2）考慮直線的斜率的存在性，可分兩種情況：
i) 當k存在時，設l的方程為………………①
橢圓方程為
由得 .
於是橢圓方程可轉化為 ………………②
將①代入②，消去得 ,
整理為的一元二次方程，得 .
則x1、x2是上述方程的兩根．且，，
ab邊上的高
ii) 當k不存在時，把直線代入橢圓方程得
由①②知s的最大值為由題意得=12 所以
故當△abf2面積最大時橢圓的方程為：
下面給出本題的另一解法,請讀者比較二者的優劣：
設過左焦點的直線方程為：…………①
（這樣設直線方程的好處是什麼？還請讀者進一步反思反思.）
橢圓的方程為：
由得：於是橢圓方程可化為：……②
把①代入②並整理得：
於是是上述方程的兩根.
,ab邊上的高,
從而當且僅當m=0取等號，即
由題意知, 於是 .
故當△abf2面積最大時橢圓的方程為：
例5 已知直線與橢圓相交於a、b兩點，且線段ab的中點在直線上.
（１）求此橢圓的離心率；
（2 ）若橢圓的右焦點關於直線的對稱點的在圓上，求此橢圓的方程.
講解:（1）設a、b兩點的座標分別為得
,根據韋達定理，得
∴線段ab的中點座標為（）.
由已知得
故橢圓的離心率為.
（2）由（1）知從而橢圓的右焦點座標為設關於直線的對稱點為
解得由已知得
故所求的橢圓方程為.
例6 已知⊙m：軸上的動點，qa，qb分別切⊙m於a，b兩點，
（1）如果，求直線mq的方程；
（2）求動弦ab的中點p的軌跡方程.
講解:（1）由，可得由射影定理，得在rt△moq中，
， 故，
所以直線ab方程是
（2）連線mb，mq，設由
點m，p，q在一直線上，得
由射影定理得
即把（*）及（**）消去a，並注意到，可得
適時應用平面幾何知識，這是快速解答本題的要害所在，還請讀者反思其中的奧妙.
例7 如圖，在rt△abc中，∠cba=90°，ab=2，ac=。do⊥ab於o點，oa=ob，do=2，曲線e過c點，動點p在e上運動，且保持| pa |+| pb |的值不變.
（1）建立適當的座標系，求曲線e的方程；
（2）過d點的直線l與曲線e相交於不同的兩點m、n且m在d、n之間，設，
試確定實數的取值範圍．
講解: （1）建立平面直角座標系, 如圖所示
∵| pa |+| pb |=| ca |+| cby
=∴動點p的軌跡是橢圓
∴曲線e的方程是 .
（2）設直線l的方程為, 代入曲線e的方程，得
設m1（, 則
i) l與y軸重合時
ii) l與y軸不重合時，
由①得又∵,∵ 或
∴0＜＜1
∵而 ∴
∴, ,
∴的取值範圍是.
值得讀者注意的是，直線l與y軸重合的情況易於遺漏，應當引起警惕.
例8 直線過拋物線的焦點，且與拋物線相交於a兩點.
（1）求證：;
（2）求證：對於拋物線的任意給定的一條弦cd，直線l不是cd的垂直平分線.
講解: （1）易求得拋物線的焦點.
若l⊥x軸，則l的方程為.
若l不垂直於x軸，可設,代入拋物線方程整理得
綜上可知 .
（2）設，則cd的垂直平分線的方程為
假設過f，則整理得
，. 這時的方程為y=0，從而與拋物線只相交於原點. 而l與拋物線有兩個不同的交點，因此與l不重合，l不是cd的垂直平分線.
此題是課本題的深化，你能夠找到它的原形嗎？知識在記憶中積累，能力在聯想中提公升. 課本是高考試題的生長點，復課切忌忘掉課本！
例9 某工程要將直線公路l一側的土石，通過公路上的兩個道口a和b，沿著道路ap、bp運往公路另一側的p處，pa=100m，pb=150m，∠apb=60°，試說明怎樣運土石最省工？
講解: 以直線l為x軸，線段ab的中點為原點對立直角座標系，則在l一側必存在經a到p和經b到p路程相等的點，設這樣的點為m，則
|ma|+|ap|=|mb|+|bp|,
即 |ma|－|mb|=|bp|－|ap|=50,
,∴m在雙曲線的右支上.
故曲線右側的土石層經道口b沿bp運往p處，曲線左側的土石層經道口a沿ap運往p處，按這種方法運土石最省工.
相關解析幾何的實際應用性試題在高考中似乎還未涉及，其實在課本中還可找到典型的範例，你知道嗎？
解析幾何解答題在歷年的高考中常考常新, 體現在重視能力立意, 強調思維空間, 是用活題考死知識的典範. 考題求解時考查了等價轉化, 數形結合, 分類討論, 函式與方程等數學思想, 以及定義法, 配方法, 待定係數法, 引數法, 判別式法等數學通法.
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