1、已知函式, ,若曲線和曲線都過點，且在點處有相同的切線．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）若時，，求的取值範圍．
解：（i）由題意知,
而，故從而;
（ii）由（i）知, ,，則由題設得，令（i）若，則，從而當時，，當時，，即在上減，在上是增，故在上的最小值為，而，故當時，，即恆成立，（ii）若，則，從而當時，，即在上是增，而，故當時，，即恆成立，
（iii）ii若時，則，
故當時，不可能成立，綜上，的取值範圍是.
2、過點引直線與曲線相交於a,b兩點,o為座標原點,當aob的面積取最大值時,直線的斜率等於_____
3、橢圓的左、右頂點分別為,點在上且直線的斜率的取值範圍是,那麼直線斜率的取值範圍是______
4、已知拋物線的頂點為原點,其焦點到直線:的距離為.設為直線上的點,過點作拋物線的兩條切線,其中為切點.
(ⅰ) 求拋物線的方程;
(ⅱ) 當點為直線上的定點時,求直線的方程;
(ⅲ) 當點在直線上移動時,求的最小值.
【答案】(ⅰ) 依題意,設拋物線的方程為,由結合,解得. 所以拋物線的方程為.
(ⅱ) 拋物線的方程為,即,求導得設, (其中),則切線的斜率分別為, ,
所以切線的方程為,即,即同理可得切線的方程為
因為切線均過點,所以,
所以為方程的兩組解. 所以直線的方程為.
(ⅲ) 由拋物線定義可知, , 所以
聯立方程,消去整理得
由一元二次方程根與係數的關係可得,
所以又點在直線上,所以, 所以
所以當時,取得最小值,且最小值為.
5、如圖,已知橢圓與的中心在座標原點,長軸均為且在軸上,短軸長分別為,,過原點且不與軸重合的直線與,的四個交點按縱座標從大到小依次為, , ,.記,和的面積分別為和.
()當直線與軸重合時,若,求的值;
()當變化時,是否存在與座標軸不重合的直線,使得?並說明理由.
解:() , 解得: (捨去小於1的根)
()設橢圓, ,直線:
同理可得, 又和的的高相等如果存在非零實數使得,則, 即:,解得當時, ,存在這樣的直線;當時, ,不存在這樣的直線.
6、已知圓:,圓:,動圓與外切並且與圓內切圓心的軌跡為曲線 c.
(ⅰ)求c的方程;
(ⅱ)是與圓,圓都相切的一條直線,與曲線c交於a,b兩點,當圓p的半徑最長時,求|ab|.
【答案】由已知得圓的圓心為(-1,0),半徑=1,圓的圓心為(1,0),半徑=3. 設動圓的圓心為(,),半徑為r.
(ⅰ)∵圓與圓外切且與圓內切,∴|pm|+|pn|===4, 由橢圓的定義可知,曲線c是以m,n為左右焦點,場半軸長為2,短半軸長為的橢圓(左頂點除外),其方程為.
(ⅱ)對於曲線c上任意一點(,),由於|pm|-|pn|=≤2,∴r≤2, 當且僅當圓p的圓心為(2,0)時,r=2. ∴當圓p的半徑最長時,其方程為, 當的傾斜角為時,則與軸重合,可得|ab|=. 當的傾斜角不為時,由≠r知不平行軸,設與軸的交點為q,則=,可求得q(-4,0),∴設:
,由於圓m相切得,解得. 當=時,將代入並整理得,解得=,∴|ab|==. 當=-時,由圖形的對稱性可知|ab|=, 綜上,|ab|=或|ab|=.
7、設橢圓的左焦點為f, 離心率為, 過點f且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.
(ⅰ) 求橢圓的方程;
(ⅱ) 設a, b分別為橢圓的左右頂點, 過點f且斜率為k的直線與橢圓交於c, d兩點. 若, 求k的值.
8、已知o是座標原點，點a（-1,1）若點m（x,y）為平面區域上上的乙個動點，則的取值範圍是0.2]
9、若關於x的方程有兩個不相等的實數根，則實數m的取值範圍是____
10、設在約束條件下，目標函式的最大值為4，則的值為 ．3
11、設為實數，若則的最大值是
【解析】∵，∴，即，
∴，解之得：，即
12、如圖，在△abc中，∠abc=，∠bac，ad是bc上的高，沿ad把△abd折起，∠bdc．
（1）證明：平面adb⊥平面bdc；
（2）設e為bc的中點，求與夾角的余弦值．
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