數學專題六解析幾何
【考點精要】
考點一. 直線的傾斜角、斜率與方程。會用直接法、待定係數法、軌跡法等求直線方程。如：已知直線過（1，2）點，且在兩座標軸的截距相等，則此直線的方程為
考點二. 點、直線、直線與直線的位置關係。重點考查點與直線的距離，直線與直線的距離公式、位置關係，直線與直線的夾角。如：若直線通過點，則( )
a． b． c． d．
考點三. 直線與圓，圓與圓的位置關係。重點考查直線與圓的相關性質、圓與圓的相關性質。過直線上的一點作圓的兩條切線，當直線關於對稱時，它們之間的夾角為( )
abcd．
考點四. 橢圓及其標準方程。橢圓的簡單的幾何性質，橢圓的引數方程的應用。
雙曲線及其標準方程，拋物線的簡單的幾何性質及其標準方程，拋物線的簡單的幾何性質。如：設斜率為2的直線過拋物線的焦點f,且和軸交於點a,若△oaf(o為座標原點)的面積為4,則拋物線方程為( ).
a． b． c． d．
考點五. 直線與圓、橢圓、雙曲線、拋物線的交點（向量的數量積）、擷取的線段。如：已知橢圓的右焦點為f,右準線，點，線段af交c於點b。若,則=( )
ab． 2cd． 3
考點六. 圓錐曲線的離心率。一般考查兩個方面：
一是求離心率的值，另乙個是根據題目條件求離心率的範圍問題。求解時或根據題意巧設引數，或利用直線與圓錐曲線的交點得到不等量關係進而求出離心率的範圍。如：
已知雙曲線的左、右焦點分別為，若雙曲線上存在一點使，則該雙曲線的離心率的取值範圍是
考點七. 圓錐曲線的軌跡方程。借助代數、幾何、平面向量等求圓錐曲線的軌跡方程問題，一般運用代入法、交規法，引數法、設而不求法等。
如：已知拋物線c的頂點座標為原點，焦點在x軸上，直線y=x與拋物線c交於a，b兩點，若為的中點，則拋物線c的方程為
考點八. 圓錐曲線的最值。以圓錐曲線知識為依託，注重考查對稱為題、引數問題、最值問題、存在性問題等，這類問題入手點難，運算量大，題目往往涉及的知識多，層次複雜，多以大題出現。
巧點妙撥
1．直線方程的五種形式(點斜式、斜截式、兩點式、截距式及一般式)中，僅有一般式可以表示座標平面內的任意直線，其他四種形式都有侷限性，故在使用是盡量使用一般式．
2．處理直線與圓的位置關係問題的常規思路有兩個：其一，通過方程，利用判別式；其二，根據幾何性質，借助圓心到直線的距離進行求解．
3．在求解直線與圓錐曲線的位置關係時，經常用到一些特殊技巧．比如：設而不求、整體運算等．這些運算都有乙個公共的前提：△≥0．求解後切莫忘記驗證．
【典題對應】
例1.(2009·山東理)設雙曲線的一條漸近線與拋物線y=x+1只有乙個公共點，則雙曲線的離心率為
ab. 5cd.
命題意圖：本題考查了雙曲線的漸近線的方程和離心率的概念,以及直線與拋物線的位置關係,本題較好地考查了基本概念基本方法和基本技能。
解析:雙曲線的一條漸近線為,由方程組,消去y,得有唯一解,所以△=,所以,,故選d.
名師坐堂：解決雙曲線問題時應結合圖形進行思考，若直線與雙曲線有乙個交點時△=0就未必可以。同時在雙曲線中也是至關重要的。
例2.（2009·山東理)設橢圓e：（a,b>0）過m（2，），n(,1)兩點，o為座標原點，
（i）求橢圓e的方程；
（ii）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒有兩個交點a,b,且？若存在，寫出該圓的方程，並求|ab|的取值範圍，若不存在說明理由。
命題立意:本題屬於**是否存在的問題,主要考查了橢圓的標準方程的確定,直線與橢圓的位置關係直線與圓的位置關係和待定係數法求方程的方法,能夠運用解方程組法研究有關引數問題以及方程的根與係數關係.
解析:（1）因為橢圓e：（a,b>0）過m（2，） ，n(,1)兩點,
所以解得所以橢圓e的方程為
（2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒有兩個交點a,b,且,設
該圓的切線方程為,解方程組得,即
, 則△=,即
要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,,,所求的圓為,此時圓的切線都滿足或,而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒有兩個交點a,b,且.
因為,所以,
, ①當時
因為所以,所以,
所以當且僅當時取」=」
②當時,.
③當ab的斜率不存在時, 兩個交點為或,所以此時,綜上,|ab|的取值範圍為即：
名師坐堂：1、待定係數法求方程是一種常用且較為有效的方法；2、在設直線方程式若設成斜截式應充分考慮到斜率是否存在；3、兩直線垂直的充要條件:；4、求函式值域是要考慮自變數的取值範圍。
【授之以漁】
（1）已知圓．①若已知切點在圓上，則切線只有一條，其方程是.②過圓外一點的切線方程可設為，再利用相切條件求k，這時必有兩條切線，注意不要漏掉平行於y軸的切線．
③斜率為k的切線方程可設為，再利用相切條件求b，必有兩條切線．
（2）已知圓．①過圓上的點的切線方程為;②斜率為的圓的切線方程為.焦點三角形：p為橢圓上一點，則三角形的面積s=特別地，若此三角形面積為；
（3）在橢圓上存在點p，使的條件是c≥b,即橢圓的離心率e的範圍是。
【直擊高考】
1. 已知直線（是非零常數）與圓有公共點，且公共點的橫座標和縱座標均為整數，那麼這樣的直線共有( )
a．60條b．66條c．72條d．78條
2. 與直線和曲線都相切的半徑最小的圓的標準方程是
3. 雙曲線=1(b∈n)的兩個焦點f1、f2，p為雙曲線上一點，|op|＜5，|pf1|，|f1f2|，|pf2|成等比數列，則b2
4. 如圖所示，拋物線y2=4x的頂點為o，點a的座標為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段oa相交(不經過點o或點a)且交拋物線於m、n兩點，求△amn面積最大時直線l的方程，並求△amn的最大面積.
5. 已知雙曲線c：2x2－y2=2與點p(1，2)。
(1)求過p(1，2)點的直線l的斜率取值範圍，使l與c分別有乙個交點，兩個交點，沒有交點.(2)若q(1，1)，試判斷以q為中點的弦是否存在.
6. 已知圓k過定點a(a,0)(a＞0),圓心k在拋物線c：y2=2ax上運動，mn為圓k在y軸上截得的弦.
(1)試問mn的長是否隨圓心k的運動而變化？
(2)當|oa|是|om|與|on|的等差中項時，拋物線c的準線與圓k有怎樣的位置關係？
數學專題六解析幾何
【直擊高考】
1. 解析：可知直線的橫、縱截距都不為零，即與座標軸不垂直，不過座標原點，而圓上的整數點共有12個，分別為，，前8個點中，過任意一點的圓的切線滿足，有8條；12個點中過任意兩點，構成條直線，其中有4條直線垂直軸，有4條直線垂直軸，還有6條過原點（圓上點的對稱性），故滿足題設的直線有52條。
綜上可知滿足題設的直線共有條，選a
2.解析：曲線化為，其圓心到直線的距離為所求的最小圓的圓心在直線上，其到直線的距離為，圓心座標為標準方程為。
3.解析：設f1(－c,0）、f2(c,0)、p(x,y),則|pf1|2+|pf2|2=2(|po|2+|f1o|2)＜2(52+c2),即|pf1|2+|pf2|2＜50+2c2,又∵|pf1|2+|pf2|2=(|pf1|－|pf2|)2+2|pf1|·|pf2|,依雙曲線定義，有|pf1|－|pf2|=4,依已知條件有|pf1|·|pf2|=|f1f2|2=4c2，∴16+8c2＜50+2c2,∴c2＜,又∵c2=4+b2＜,∴b2＜,∴b2=1.
4.解析：由題意，可設l的方程為y=x+m,－5＜m＜0.
由方程組,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0 ①
∵直線l與拋物線有兩個不同交點m、n，
∴方程①的判別式δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,
解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的範圍為(－5，0)，設m(x1,y1),n(x2,y2)則x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,
∴|mn|=4.點a到直線l的距離為d=.s△=2(5+m),從而s△2=4(1－m)(5+m)2
=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2()3=當且僅當2－2m=5+m,即m=－1時取等號。故直線l的方程為y=x－1，△amn的最大面積為8.
5.解析：(1)當直線l的斜率不存在時，l的方程為x=1,與曲線c有乙個交點.
當l的斜率存在時，設直線l的方程為y－2=k(x－1),代入c的方程，並整理得(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0。(ⅰ)當2－k2=0,即k=±時，方程有乙個根，l與c有乙個交點。(ⅱ)當2－k2≠0,即k≠±時，δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k)，①當δ=0,即3－2k=0,k=時，方程(*)有乙個實根，l與c有乙個交點.
②當δ＞0,即
k＜,又k≠±,故當k＜－或－＜k＜或＜k＜時，方程(*)有兩不等實根，l與c有兩個交點.③當δ＜0，即k＞時，方程(*)無解，l與c無交點.綜上知：
當k=±,或k=，或k不存在時，l與c只有乙個交點；當＜k＜,或－＜k＜,或k＜－時，l與c有兩個交點；當k＞時，l與c沒有交點.
(2)假設以q為中點的弦存在，設為ab，且a(x1,y1),b(x2,y2)，則2x12－y12=2,2x22－y22=2兩式相減得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)，又∵x1+x2=2,y1+y2=2，2(x1－x2)=y1－y1，即kab==2，但漸近線斜率為±,結合圖形知直線ab與c無交點，所以假設不正確，即以q為中點的弦不存在.
解析幾何二輪複習研究
發言人 黃德輝 一 本週專題複習內容的級要求 2 本週專題複習內容的級要求 1 運算求解能力 會根據概念 公式 法則對數 式 方程和幾何量進行正確的運算 變形和資料處理，能根據問題的條件，分析 尋找與設計合理 簡捷的運算途徑 能根據要求對資料進行估計和近似計算.2 資料處理能力 會依據統計中的方法收...
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