一、內容提要：
分類討論的主要因素：
（1）根據本身就是分類定義；
（2）有些性質、公式在不同條件下有不同的結論；
（3）一些定義、定理、公式和法則有範圍或條件限制；
（4）題目的條件或結論不唯一時；
（5）解含引數（字母係數）的題目時，必須根據引數（字母係數）的不同取值範圍進行討論；
（6）推理過程中，遇到數量的大小不確定，圖形的位置或形狀不確定的。
四個步驟：
（1）確定分類物件
（2）進行合理分類
（3）逐類討論，分級進行
（4）歸納並作出結論
二、例題精選
1．按圖形的性質分類
例1．如圖1，⊙o是等邊δabc的外接圓，d是上異於b、c的一點。若的度數之比是1∶3，⊙o的半徑為1，取點f，使δdcf為等腰三角形，且頂角為鈍角，試指出這時df的長或其取值範圍。
分析：題目中，沒有確定dc是等腰三角形的底還是腰，所以要分為不同的情況討論，在不同狀態下求df。
解：因為120°，的度數的比是1∶3，所以 90°，鏈結oc、od，
則cd=。
①以cd為底邊時，如圖2，df可變化，若∠f為直角，則df=1，而本題∠f為鈍角，有2。
又df<2，所以20時，y=kx+b中，y隨x的增大而增大，
∴ x=-2時，y=-11, ∴x=6時，y=9,
∴ , ∴,
∴ 函式解析式為y=x-6。
（2）當k<0時，y=kx+b中，y隨x的增大而減小，
∴ x=-2時，y=9，x=6時，y=-11。
∴ , ∴
∴ y=-x+4。
∴綜上（1）（2），所求函式解析式為y=x-6或y=-x+4。
例2．已知一次函式y=-x+8和反比例函式y=(k≠0)
（1）k滿足什麼條件時，這兩個函式在同一座標系中的影象有兩個交點？
（2）設（1）中兩個交點為a，b，試比較∠aob與90°角的大小。
解：（1）由，消去y得：x2-8x+k=0。
∵ 影象有兩個交點得：δ=82-4k>0,
∴ k<16且k≠0。
（2）利用數形結合的方法，分析角度，如圖，
①當090°。
例3．國家規定個人發表文章，出版圖書獲得稿費的納稅計算辦法是：
（1）稿費不高於800元的不納稅
（2）稿費高於800元又不高於4000元的應繳納超過800元那部分稿費的14%。
（3）稿費高於4000元應繳納全部稿費的12%的稅，今知丁老師獲得一筆稿費，並繳納個人所得稅a(a>0)元，求丁老師這筆稿費有多少元。
解：設丁老師這筆稿費為x元，∵a>0, ∴x>800,
（1）當8004000時，丁老師所納稅x·12%元，
∴ 12%x=a, ∴x=a,
∴ a>4000, a>480。
即a>480時，x=a=a。
答：當丁老師所納稅a(元)不超過448元時，丁老師的稿費是(a+800)元，當丁老師所納稅a(元)超過480元時，丁老師獲得的稿費是a。
說明：這道試題是乙個實際應用問題，我們在對a進行分類討論的時候，運用了逆向思維方法。即先對x進行分類討論，求得a的範圍，然後用求得a的範圍反過來說明所要解決的問題。
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