中考數學重難點專題講座
第三講動態幾何問題
【前言】
從歷年中考來看，動態問題經常作為壓軸題目出現，得分率也是最低的。動態問題一般分兩類，一類是代數綜合方面，在座標系中有動點，動直線，一般是利用多種函式交叉求解。另一類就是幾何綜合題，在梯形，矩形，三角形中設立動點、線以及整體平移翻轉，對考生的綜合分析能力進行考察。
所以說，動態問題是中考數學當中的重中之重，只有完全掌握，才有機會拼高分。在這一講，我們著重研究一下動態幾何問題的解法，
第一部分真題精講
【例1】（2010，密雲，一模）
如圖，在梯形中，，，，，梯形的高為．動點從點出發沿線段以每秒2個單位長度的速度向終點運動；動點同時從點出發沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動．設運動的時間為（秒）．
（1）當時，求的值；
（2）試**：為何值時，為等腰三角形．
【思路分析1】本題作為密雲卷壓軸題，自然有一定難度，題目**現了兩個動點，很多同學看到可能就會無從下手。但是解決動點問題，首先就是要找誰在動，誰沒在動，通過分析動態條件和靜態條件之間的關係求解。對於大多數題目來說，都有乙個由動轉靜的瞬間，就本題而言，m，n是在動，意味著bm,mc以及dn,nc都是變化的。
但是我們發現，和這些動態的條件密切相關的條件dc,bc長度都是給定的，而且動態條件之間也是有關係的。所以當題中設定mn//ab時，就變成了乙個靜止問題。由此，從這些條件出發，列出方程，自然得出結果。
【解析】
解：（1）由題意知，當、運動到秒時，如圖①，過作交於點，則四邊形是平行四邊形．
∵，．∴． （根據第一講我們說梯形內輔助線的常用做法，成功將mn放在三角形內，將動態問題轉化成平行時候的靜態問題）
這個比例關係就是將靜態與動態聯絡起來的關鍵）
∴ ．解得．
【思路分析2】第二問失分也是最嚴重的，很多同學看到等腰三角形，理所當然以為是mn=nc即可，於是就漏掉了mn=mc,mc=cn這兩種情況。在中考中如果在動態問題當中碰見等腰三角形，一定不要忘記分類討論的思想，兩腰一底乙個都不能少。具體分類以後，就成為了較為簡單的解三角形問題，於是可以輕鬆求解
【解析】
（2）分三種情況討論：
① 當時，如圖②作交於，則有即．（利用等腰三角形底邊高也是底邊中線的性質）
∵，∴，
解得．② 當時，如圖③，過作於h．
則，∴．
∴．③ 當時，
則．．綜上所述，當、或時，為等腰三角形．
【例2】（2010，崇文，一模）
在△abc中，∠acb=45．點d（與點b、c不重合）為射線bc上一動點，連線ad，以ad為一邊且在ad的右側作正方形adef．
（1）如果ab=ac．如圖，且點d**段bc上運動．試判斷線段cf與bd之間的位置關係，並證明你的結論．
（2）如果ab≠ac，如圖，且點d**段bc上運動．（1）中結論是否成立，為什麼？
（3）若正方形adef的邊de所在直線與線段cf所在直線相交於點p，設ac＝，，cd=，求線段cp的長．（用含的式子表示）
【思路分析1】本題和上題有所不同，上一題會給出乙個條件使得動點靜止，而本題並未給出那個「靜止點」，所以需要我們去分析由d運動產生的變化圖形當中，什麼條件是不動的。由題我們發現，正方形中四條邊的垂直關係是不動的，於是利用角度的互餘關係進行傳遞，就可以得解。
【解析】：
（1）結論：cf與bd位置關係是垂直；
證明如下：ab=ac ，∠acb=45，∴∠abc=45．
由正方形adef得 ad=af ，∵∠daf=∠bac =90，
∴∠dab=∠fac，∴△dab≌△fac ， ∴∠acf=∠abd．
∴∠bcf=∠acb+∠acf= 90．即 cf⊥bd．
【思路分析2】這一問是典型的從特殊到一般的問法，那麼思路很簡單，就是從一般中構築乙個特殊的條件就行，於是我們和上題一樣找ac的垂線，就可以變成第一問的條件，然後一樣求解。
（2）cf⊥bd．(1)中結論成立．
理由是：過點a作ag⊥ac交bc於點g，∴ac=ag
可證：△gad≌△caf ∴∠acf=∠agd=45
∠bcf=∠acb+∠acf= 90． 即cf⊥bd
【思路分析3】這一問有點棘手，d在bc之間運動和它在bc延長線上運動時的位置是不一樣的，所以已給的線段長度就需要分情況去考慮到底是4+x還是4-x。分類討論之後利用相似三角形的比例關係即可求出cp.
（3）過點a作aq⊥bc交cb的延長線於點q，
①點d**段bc上運動時，
∵∠bca=45，可求出aq= cq=4．∴ dq=4-x，
易證△aqd∽△dcp，∴ ， ∴，
． ②點d**段bc延長線上運動時，
∵∠bca=45，可求出aq= cq=4，∴ dq=4+x．
過a作交cb延長線於點g，
則． cf⊥bd，
△aqd∽△dcp，∴ ， ∴，
．【例3】（2010，懷柔，一模）
已知如圖，在梯形中，點是的中點，是等邊三角形．
（1）求證：梯形是等腰梯形；
（2）動點、分別**段和上運動，且保持不變．設求與的函式關係式；
（3）在（2）中，當取最小值時，判斷的形狀，並說明理由．
【思路分析1】本題有一點綜合題的意味，但是對二次函式要求不算太高，重點還是在考察幾何方面。第一問純靜態問題，自不必說，只要證兩邊的三角形全等就可以了。第二問和例1一樣是雙動點問題，所以就需要研究在p,q運動過程中什麼東西是不變的。
題目給定∠mpq=60°，這個度數的意義在**？其實就是將靜態的那個等邊三角形與動態條件聯絡了起來.因為最終求兩條線段的關係,所以我們很自然想到要通過相似三角形找比例關係.
怎麼證相似三角形呢? 當然是利用角度咯.於是就有了思路.
【解析】
（1）證明：∵是等邊三角形
∴∵是中點∴∵
∴∴∴∴梯形是等腰梯形．
（2）解：在等邊中，
∴ (這個角度傳遞非常重要,大家要仔細揣摩)∴∴
∴∵ ∴
∴ ∴ (設元以後得出比例關係,輕鬆化成二次函式的樣子)
【思路分析2】第三問的條件又回歸了當動點靜止時的問題。由第二問所得的二次函式，很輕易就可以求出當x取對稱軸的值時y有最小值。接下來就變成了「給定pc=2，求△pqc形狀」的問題了。
由已知的bc=4，自然看出p是中點，於是問題輕鬆求解。
（3）解： 為直角三角形
∵∴當取最小值時，
∴是的中點，而∴∴
以上三類題目都是動點問題，這一類問題的關鍵就在於當動點移動**現特殊條件，例如某邊相等，某角固定時，將動態問題化為靜態問題去求解。如果沒有特殊條件，那麼就需要研究在動點移動中哪些條件是保持不變的。當動的不是點，而是一些具體的圖形時，思路是不是一樣呢?
接下來我們看另外兩道題.
【例4】2010，門頭溝，一模
已知正方形中，為對角線上一點，過點作交於，連線，為中點，連線．
（1）直接寫出線段與的數量關係；
（2）將圖1中繞點逆時針旋轉，如圖2所示，取中點，連線，．
你在（1）中得到的結論是否發生變化？寫出你的猜想並加以證明．
（3）將圖1中繞點旋轉任意角度，如圖3所示，再連線相應的線段，問（1）中的結論是否仍然成立？（不要求證明）
【思路分析1】這一題是一道典型的從特殊到一般的圖形旋轉題。從旋轉45°到旋轉任意角度，要求考生討論其中的不動關係。第一問自不必說，兩個共斜邊的直角三角形的斜邊中線自然相等。
第二問將△bef旋轉45°之後，很多考生就想不到思路了。事實上，本題的核心條件就是g是中點，中點往往意味著一大票的全等關係，如何構建一對我們想要的全等三角形就成為了分析的關鍵所在。連線ag之後，拋開其他條件，單看g點所在的四邊形adfe，我們會發現這是乙個梯形，於是根據我們在第一講專題中所討論的方法，自然想到過g點做ad,ef的垂線。
於是兩個全等的三角形出現了。
（1）（2）（1）中結論沒有發生變化，即．
證明：連線，過點作於，與的延長線交於點．
在與中，
∵，∴．
∴． 在與中，
∵，∴．
∴ 在矩形中，
在與中，
∵，∴．
∴． ∴
【思路分析2】第三問純粹送分，不要求證明的話幾乎所有人都會答出仍然成立。但是我們不應該止步於此。將這道題放在動態問題專題中也是出於此原因，如果△bef任意旋轉，哪些量在變化，哪些量不變呢？
如果題目要求證明，應該如何思考。建議有餘力的同學自己研究一下，筆者在這裡提供乙個思路供參考：在△bef的旋轉過程中，始終不變的依然是g點是fd的中點。
可以延長一倍eg到h，從而構造乙個和efg全等的三角形，利用be=ef這一條件將全等過渡。要想辦法證明三角形ech是乙個等腰直角三角形，就需要證明三角形ebc和三角形cgh全等，利用角度變換關係就可以得證了。
（3）（1）中的結論仍然成立．
【例5】（2010，朝陽，一模）
已知正方形abcd的邊長為6cm，點e是射線bc上的乙個動點，連線ae交射線dc於點f，將△abe沿直線ae翻摺，點b落在點b′ 處．
（1）當=1 時，cf=______cm，
（2）當=2 時，求sin∠dab′ 的值；
（3）當= x 時（點c與點e不重合），請寫出△abe翻摺後與正方形abcd公共部分的面積y與x的關係式，（只要寫出結論，不要解題過程）．
【思路分析】動態問題未必只有點的平移，圖形的旋轉，翻摺（就是軸對稱）也是一大熱點。這一題是朝陽卷的壓軸題，第一問給出比例為1，第二問比例為2，第三問比例任意，所以也是一道很明顯的從一般到特殊的遞進式題目。同學們需要仔細把握翻摺過程中哪些條件發生了變化，哪些條件沒有發生變化。
一般說來，翻折中，角，邊都是不變的，所以軸對稱圖形也意味著大量全等或者相似關係，所以要利用這些來獲得線段之間的比例關係。尤其注意的是，本題中給定的比例都是有兩重情況的，e在bc上和e在延長線上都是可能的，所以需要大家分類討論，不要遺漏。
【解析】
（1）cf= 6 cm； （延長之後一眼看出，eazy）
（2）① 如圖1，當點e在bc上時，延長ab′交dc於點m，
∵ ab∥cf，∴ △abe∽△fce，∴ ．
∵ =2， ∴ cf=3．
∵ ab∥cf，∴∠bae=∠f．
又∠bae=∠b′ ae， ∴ ∠b′ ae=∠f．∴ ma=mf．
設ma=mf=k，則mc=k -3，dm=9-k．
在rt△adm中，由勾股定理得：
k2=(9-k)2+62， 解得 k=ma=． ∴ dm=．（設元求解是這類題型中比較重要的方法）
∴ sin∠dab′=；
②如圖2，當點e在bc延長線上時，延長ad交b′ e於點n，
同①可得na=ne．
設na=ne=m，則b′ n=12-m．
在rt△ab′ n中，由勾股定理，得
第三講尼采
尼采其人 尼采 friedrich wilhelmnietzsche,1844 1890 是對西方哲學由近代向現當代轉型發生過重大影響的德國哲學家。他出生於乙個鄉村牧師家庭。早年在一所貴族子弟學校上學，熱衷於希臘文化，對詩和 感興趣，後來進波恩和萊比錫大學學習語言和神學。1869 1879年任瑞士巴...
初一第三講
2 中間句子的作用結構上 文章中間的句段連線著上下文，所以有承上啟下 概括上文某一內容，引起對下文的什麼內容的敘寫 或承接上文或引起下文的作用，並為故事的情節發展作鋪墊。內容上要聯絡中心回答。3 結尾 末段一般是總結全文，呼應開頭，點明題旨，深化中心，昇華感情，或兼而有之 另外末段如果用問句結尾，不...
第三講巧妙求和
一 基礎知識回顧 在一列數中，如果每相鄰的兩個數的差是相同的，這樣的一列數叫做等差數列，在等差數列中有 1 相鄰兩個數的差叫做公差 2 數列中的每乙個數叫做項 3 數列中的第乙個數叫做首項 4 數列中的最後乙個數叫做末項 5 乙個數列中共有多少項叫做項數。等差數列的求和公式 1 總和 首項 末項 項...