一、 基本應用直線與圓錐曲線相交相關的弦長、弦的中點、垂直等問題
例1、橢圓與直線相交於a、b，點c是ab的中點，
若，oc的斜率為，求橢圓的方程。
例2、已知橢圓的中心在座標原點，焦點在軸上，離心率；直線：與橢圓交於兩點，且，求橢圓的方程。
例3．已知直角的直角頂點為原點，、在拋物線上。
（1）分別求、兩點的橫座標之積，縱座標之積；
（2）求證：直線經過乙個定點，求出該定點的座標；
（3）過定點任作拋物線的一弦，求證：為定值。
二、 綜合應用直線與橢圓相交問題：同一條直線上的線段之比問題、三角形及四邊形面積問題、三點共線、定值定直線等問題
4．如圖，已知點，直線，為平
面上的動點，過作直線的垂線，垂足為點，且
。（ⅰ）求動點的軌跡的方程；
（ⅱ）過點的直線交軌跡於兩點，
交直線於點，已知，，
求的值。
例5．如圖，已知橢圓的左右焦點分別為,a、b、c 是橢圓上的三個動點，且，若已知橢圓的離心率。
（1）求的值；
（2）求△abc與△的面積之比的最小值。
例6．如圖，設拋物線的
準線與軸交於，焦點為；以為
焦點，離心率的橢圓與拋物線在
軸上方的乙個交點為。
（ⅰ）當時，求橢圓的方程及其右準
線的方程；
（ⅱ）在（ⅰ）的條件下，直線經過橢圓
的右焦點，與拋物線交於，如
果以線段為直徑作圓，試判斷點p與圓
的位置關係，並說明理由；
（ⅲ）是否存在實數，使得的邊
長是連續的自然數，若存在，求出這樣的實
數；若不存在，請說明理由。
例7．曲線c是中心在原點，焦點為f（，0）的雙曲線的右支，已知它的一條漸近線方程是。
（1）求曲線c的方程；
（2）已知點e（2，0），若直線與曲線c交於異於點e的p、r兩點，且。求證：直線過乙個定點，並求出定點的座標。
例8．已知過橢圓c :右焦點f且斜率為1的直線交橢圓 c 於a, b兩點，n為弦 ab 的中點；又函式圖象的一條對稱軸的方程是.
（ⅰ）求橢圓 c 的離心率 e 與直線on的斜率；
（ⅱ）對於任意一點 m ∈c，試證：總存在角使等式：
成立.練習．
1已知三點在橢圓上，的重心與此橢圓焦點重合。求直線的方程。
2．已知橢圓，試確定的取值範圍，使得對於直線，橢圓上總有兩個不同的點關於該直線對稱。
3．設橢圓，過點引直線順次交橢圓於兩點，若，求的取值範圍。
4．已橢圓的左右焦點分別為,a、b、c 是橢圓上的三個動點，且
(文科) 若，且，求的值.
(理科) 若已知橢圓的離心率，
⑴求的值；
⑵求△abc與△的面積之比的最小值
5．（文科）已知點a(-2,0),b(2,0)，直線ac，bc的斜率乘積等於。
⑴求點c的軌跡方程；
⑵若直線與點c的軌跡交於p、q兩點，直線ap、aq分別交直線於m、n兩點，求證：m、n兩點的縱座標之積為定值。
(理科) 已知點a(-a,0),b(a,0)，直線ac、bc的斜率乘積等於。
⑴求點c的軌跡方程；
⑵設，直線與點c的軌跡交於p、q兩點，直線ap、aq分別交直線於m、n兩點，若f(c,0)，求的值。
專題 解析幾何
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