. 空間向量.
（1）a.共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.
（2）空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那麼對空間任一向量，存在乙個唯一的有序實陣列x、y、z，使.
推論：設o、a、b、c是不共面的四點，則對空間任一點p, 都存在唯一的有序實陣列x、y、z使(這裡隱含x+y+z≠1).
注：設四面體abcd的三條稜，其
中q是△bcd的重心，則向量用即證.
對空間任一點o和不共線的三點a、b、c，滿足，
則四點p、a、b、c是共面
（3）空間向量的座標：空間直角座標系的x軸是橫軸（對應為橫座標），y軸是縱軸（對應為縱軸），z軸是豎軸（對應為豎座標）.
①令=(a1,a2,a3),，則
，， ，
∥ 。。
(用到常用的向量模與向量之間的轉化：
)空間兩個向量的夾角公式
（a＝，b＝）。
空間兩點的距離公式：.
７．知識網路
1．求距離：
求距離的重點在點到平面的距離，直線到平面的距離和兩個平面的距離可以轉化成點到平面的距離，乙個點到平面的距離也可以轉化成另外乙個點到這個平面的距離。
（1）兩條異面直線的距離
求法：利用公式（其中a、b分別為兩條異面直線上的一點，為這兩條異面直線的法向量）
（2）點到平面的距離
求法： 「一找二證三求」，三步都必須要清楚地寫出來。等體積法。向量法，利用公式（其中a為已知點，b為這個平面內的任意一點，這個平面的法向量）
一、 經典例題剖析
考點一空間向量及其運算
例題1. 已知三點不共線，對平面外任一點，滿足條件，
試判斷：點與是否一定共面？
分析：要判斷點與是否一定共面，即是要判斷是否存在有序實數對，使或對空間任一點，有。
解：由題意：，
∴，∴，即，
所以，點與共面．
點評：在用共面向量定理及其推論的充要條件進行向量共面判斷的時候，首先要選擇恰當的充要條件形式，然後對照形式將已知條件進行轉化運算．
考點二證明空間線面平行與垂直
例題3. 如圖, 在直三稜柱abc－a1b1c1中，ac＝3，bc＝4，aa1＝4，點d是ab的中點， （i）求證：ac⊥bc1； （）求證：ac 1//平面cdb1；
分析：（1）證明線線垂直方法有兩類：一是通過三垂線定理或逆定理證明，二是通過線面垂直來證明線線垂直；（2）證明線面平行也有兩類：
一是通過線線平行得到線面平行，二是通過面面平行得到線面平行.
解法一：（）直三稜柱abc－a1b1c1，底面三邊長ac=3，bc=4ab=5，
∴ ac⊥bc，且bc1在平面abc內的射影為bc，∴ ac⊥bc1；
（）設cb1與c1b的交點為e，鏈結de，∵ d是ab的中點，e是bc1的中點，∴ de//ac1，∵ de平面cdb1，ac1平面cdb1，∴ ac1//平面cdb1；
解法二：∵直三稜柱abc－a1b1c1底面三邊長ac＝3，bc＝4，ab＝5，∴ac、bc、c1c兩兩垂直，如圖，以c為座標原點，直線ca、cb、c1c分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角座標系，則c（0,0，0），a（3,0，0），c1（0,0，4），b（0,4，0），b1（0,4，4），d（，2,0）
（1）∵＝（－3,0，0），＝（0，－4,0），∴＝0，∴ac⊥bc1.
（2）設cb1與c1b的交戰為e，則e（0,2，2）.∵＝（－，0,2），＝（－3,0，4），∴，∴de∥ac1.
主要依據是有關定義及判定定理和性質定理．
例題4. （北京市東城區2023年綜合練習）如圖，在稜長為2的正方體的中點，p為bb1的中點.
（i）求證：；
（ii）求證；
（iii）求異面直線所成角的大小.
分析：本小題考查直線與平面垂直，二面角等基礎知識，考查空間想象能力和推理論證能力.
解法一：（i）鏈結bc1
由正方體的性質得bc1是bd1在
平面bcc1b1內的射影
，所以(ii)又，
（iii）延長
由於正方體的稜長為2，
即異面直線所成角的大小為arccos.
解法二：（i）如圖建立空間直角座標系.
則b（2，2，0），c（0，2，0）
b1（2，2，2），d1（0，0，2）.
3分（ii），
（iii），
即異面直線所成角的大小為arccso
點評：證明線面垂直只需證此直線與平面內兩條相交直線垂直即可.這些從本題證法中都能十分明顯地體現出來
考點三求空間圖形中的角與距離
根據定義找出或作出所求的角與距離，然後通過解三角形等方法求值，注意「作、證、算」的有機統一.解題時注意各種角的範圍：異面直線所成角的範圍是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和補形法；直線與平面所成角的範圍是0°≤θ≤90°，其解法是作垂線、找射影；二面角0°≤θ≤180°，其方法是：
①定義法；②三垂線定理及其逆定理；③垂面法另也可借助空間向量求這三種角的大小.
例題6. （福建省福州三中2008屆高三第三次月考）如圖，正三稜柱的所有稜長都是，是稜的中點，是稜的中點，交於點
（1）求證：；
（2）求二面角的大小；
（3）求點到平面的距離。
分析：本題涉及立體幾何線面關係的有關知識, 本題實質上求解角度和距離,在求此類問題中，要將這些量處於三角形中,最好是直角三角形,這樣有利於問題的解決，此外用向量也是一種比較好的方法.
解答：（1）證明：建立如圖所示，
∵∴即ae⊥a1d， ae⊥bd ∴ae⊥面a1bd
（2）設面da1b的法向量為
由 ∴取
設面aa1b的法向量為
由圖可知二面角d—ba1—a為銳角，
∴它的大小為arcos
（3），平面a1bd的法向量取
則b1到平面a1bd的距離d=
點評：立體幾何的內容就是空間的判斷、推理、證明、角度和距離、面積與體積的計算，這是立體幾何的重點內容,本題實質上求解角度和距離,在求此類問題中,盡量要將這些量處於三角形中,最好是直角三角形,這樣計算起來,比較簡單,此外用向量也是一種比較好的方法,不過建系一定要恰當,這樣座標才比較好寫出來.
立體幾何題型與方法 理科
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