丹陽市第五中學朱國良
第一部分高考中的立體幾何
高考立體幾何試題一般共有4道(選擇、填空題3道, 解答題1道), 共計總分26分左右,考查的知識點在20個以內. 選擇填空題主要考查立幾中的計算型問題, 而解答題則著重考查立幾中的邏輯推理型問題, 當然, 二者均應以正確的空間想象為前提。 隨著新的課程改革的進一步實施,立體幾何考題正朝著「多一點思考,少一點計算」的方向發展。
一、考試內容：
平面及其基本性質。
平行直線，對應邊分別平行的角，異面直線所成的角，異面直線的公垂線，異面直線的距離。
直線和平面平行的判定與性質，直線和平面垂直的判定與性質，點到平面的距離，斜線在平面上的射影，直線和平面所成的角，三垂線定理及其逆定理。
平行平面的判定與性質，平行平面間的距離，二面角及其平面角，兩個平面垂直的判定與性質。
多面體、稜柱、稜錐、正多面體、球。
其中,從歷年的考題變化看, 重點考查的內容是以多面體為載體的線線、線面、麵麵的平行與垂直的判定與性質，三垂線定理及逆定理，線線、線面、麵麵所成的角及有關的距離計算。
二、考試要求
（1）掌握平面的基本性質，能夠畫出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關係的圖形，能夠根據圖形想象它們的位置關係。
（2）了解空間兩條直線的位置關係，掌握兩條直線平行與垂直的判定定理和性質定理，掌握兩條直線所成的角和距離的概念（對於異面直線的距離，只要求會計算已給出公垂線時的距離）。
（3）了解空間直線和平面的位置關係，掌握直線和平面平行的判定定理和性質定理，理解直線和平面垂直的判定定理和性質定理，掌握斜線在平面上的射影、直線和平面所成的角、直線和平面的距離的概念，了解三垂線定理及其逆定理。
（4）了解平面與平面的位置關係，掌握兩個平面平行的判定定理和性質定理。掌握二面角、二面角的平面角、兩個平面間的距離的概念，掌握兩個平面垂直的判定定理和性質定理。
（5）會用反證法證明簡單的問題。
（6）了解多面體的概念，了解凸多面體的概念。
（7）了解稜柱的概念，掌握稜柱的性質，會畫直稜柱的直觀圖。
（8）了解稜錐的概念，掌握正稜錐的性質，會畫正稜錐的直觀圖。
（9）了解正多面體的概念，了解多面體的尤拉公式。
（10）了解球的概念，掌握球的性質，掌握球的表面積、體積公式。
高考試題的特點是：試題以中等難度為主，兼有少量容易題；融線面關係與立體圖形之中，以線面關係的分析為主；融推理論證與幾何量的計算之中，以推理論證為主。試題在考查四個能力---空間想象能力、推理判斷能力、邏輯表達能力及計算能力的同時，非常重視對數學素質和基本的數學思想方法的考查，試題主要體現了立體幾何的通性通法，突出了化歸思想、轉化思想，以及反證法、模型法、等積變換等思想和方法。
考題主要分為兩類，一類是空間線面關係的判斷、推理；一類是幾何量（如角度、距離、面積、體積等）的計算。前者應畫圖或識圖，借助圖形分析思考，應充分、熟練地運用相關的判定定理和性質定理，要能從文字語言、符號語言、圖形語言全方位準確理解，要廣泛聯想，合理轉化，從整體上把握與處理。後者一般分三個步驟：
作圖—證明—計算。尤其是證明必不可少，應引起學生高度重視。
三、學習目標
1．在掌握直線與平面的位置關係(包括直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位置關係)的基礎上，研究有關平行和垂直的的判定依據(定義、公理和定理)、判定方法及有關性質的應用；在有關問題的解決過程中，進一步了解和掌握相關公理、定理的內容和功能，並探索立體幾何中論證問題的規律；在有關問題的分析與解決的過程中提高邏輯思維能力、空間想象能力及化歸和轉化的數學思想的應用。
2．在掌握空間角(兩條異面直線所成的角，平面的斜線與平面所成的角及二面角)概念的基礎上，掌握它們的求法(其基本方法是分別作出這些角，並將它們置於某個三角形內通過計算求出它們的大小)；在解決有關空間角的問題的過程中，進一步鞏固關於直線和平面的平行垂直的性質與判定的應用，掌握作平行線(面)和垂直線(面)的技能；通過有關空間角的問題的解決，進一步提高學生的空間想象能力、邏輯推理能力及運算能力。
3．通過學習，使學生更好地掌握多面體有關概念、性質，並能夠靈活運用到解題過程中。通過教學使學生掌握基本的立體幾何解題方法和常用解題技巧，發掘不同問題之間的內在聯絡，提高解題能力。
4．使學生更好地理解多面體與旋轉體的體積及其計算方法，提高空間想象能力、推理能力和計算能力．
四、雙基透視
1．有關平行與垂直(線線、線面及麵麵)的問題，是在解決立體幾何問題的過程中，大量的、反覆遇到的，而且是以各種各樣的問題(包括論證、計算角、與距離等)中不可缺少的內容，因此在主體幾何的總複習中，首先應從解決「平行與垂直」的有關問題著手，通過較為基本問題，熟悉公理、定理的內容和功能，通過對問題的分析與概括，掌握立體幾何中解決問題的規律——充分利用線線平行(垂直)、線面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互轉化的思想，以提高邏輯思維能力和空間想象能力．
2． 判定兩個平面平行的方法：
（1）根據定義——證明兩平面沒有公共點；
（2）判定定理——證明乙個平面內的兩條相交直線都平行於另乙個平面；
（3）證明兩平面同垂直於一條直線。
3．兩個平面平行的主要性質：
⑴由定義知：「兩平行平面沒有公共點」。
⑵由定義推得：「兩個平面平行，其中乙個平面內的直線必平行於另乙個平面。
⑶兩個平面平行的性質定理：「如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那
麼它們的交線平行」。
⑷一條直線垂直於兩個平行平面中的乙個平面，它也垂直於另乙個平面。
⑸夾在兩個平行平面間的平行線段相等。
⑹經過平面外一點只有乙個平面和已知平面平行。
以上性質⑵、⑷、⑸、⑹在課文中雖未直接列為「性質定理」，但在解題過程中均可直接作為性質定理引用。
4．空間的角和距離是空間圖形中最基本的數量關係，空間的角主要研究射影以及與射影有關的定理、空間兩直線所成的角、直線和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解這類問題的基本思路是把空間問題轉化為平面問題去解決。
空間的角，是對由點、直線、平面所組成的空間圖形中各種元素間的位置關係進行定量分析的乙個重要概念，由它們的定義，可得其取值範圍，如兩異面直線所成的角θ∈(0，)，直線與平面所成的角θ∈，二面角的大小，可用它們的平面角來度量，其平面角θ∈(0，π)。
對於空間角的計算，總是通過一定的手段將其轉化為乙個平面內的角，並把它置於乙個平面圖形，而且是乙個三角形的內角來解決，而這種轉化就是利用直線與平面的平行與垂直來實現的，因此求這些角的過程也是直線、平面的平行與垂直的重要應用．通過空間角的計算和應用進一步培養運算能力、邏輯推理能力及空間想象能力。
如求異面直線所成的角常用平移法**化為相交直線）；求直線與平面所成的角常利用射影轉化為相交直線所成的角；而求二面角－l－的平面角（記作）通常有以下幾種方法：
(1) 根據定義；
(2) 過稜l上任一點o作稜l的垂面，設∩＝oa，∩＝ob，則∠aob＝(圖1)；
(3) 利用三垂線定理或逆定理，過乙個半平面內一點a，分別作另乙個平面的垂線ab(垂足為b),或稜l的垂線ac(垂足為c)，鏈結ac，則∠acb＝ 或∠acb＝－(圖2)；
(4) 設a為平面外任一點，ab⊥，垂足為b，ac⊥，垂足為c，則∠bac＝或∠bac＝－(圖3)；
(5) 利用面積射影定理，設平面內的平面圖形f的面積為s，f在平面內的射影圖形的面積為s，則cos＝.
圖 1圖 2圖 3
5.空間的距離問題，主要是求空間兩點之間、點到直線、點到平面、兩條異面直線之間（限於給出公垂線段的）、平面和它的平行直線、以及兩個平行平面之間的距離．
求距離的一般方法和步驟是：一作——作出表示距離的線段；二證——證明它就是所要求的距離；三算——計算其值．此外，我們還常用體積法求點到平面的距離．
6．稜柱的概念和性質
⑴理解並掌握稜柱的定義及相關概念是學好這部分知識的關鍵，要明確「稜柱直稜柱正稜柱」這一系列中各類幾何體的內在聯絡和區別。
⑵平行六面體是稜柱中的一類重要的幾何體，要理解並掌握「平行六面體直平行六面體長方體正四稜柱正方體」這一系列中各類幾何體的內在聯絡和區別。
⑶須從稜柱的定義出發，根據第一章的相關定理對稜柱的基本性質進行分析推導，以求更好地理解、掌握並能正確地運用這些性質。
⑷關於平行六面體，在掌握其所具有的稜柱的一般性質外，還須掌握由其定義匯出的一些其特有的性質，如長方體的對角線長定理是乙個重要定理並能很好地掌握和應用。還須注意，平行六面體具有一些與平面幾何中的平行四邊形相對應的性質，恰當地運用平行四邊形的性質及解題思路去解平行六面體的問題是一常用的解題方法。
⑸多面體與旋轉體的問題離不開構成幾何體的基本要素點、線、面及其相互關係，因此，很多問題實質上就是在研究點、線、面的位置關係，與《直線、平面、簡單幾何體》第一部分的問題相比，唯一的差別就是多了一些概念，比如面積與體積的度量等．從這個角度來看，點、線、面及其位置關係仍是我們研究的重點．多面體與旋轉體的體積問題是《直線、平面、簡單幾何體》課程當中相對獨立的課題．體積和面積、長度一樣，都是度量問題．常用「分割與補形」，算出了這些幾何體的體積．
7．尤拉公式:如果簡單多面體的頂點數為v，面數f，稜數e，那麼v+f-e＝2.
計算稜數e常見方法：
(1)e＝v+f-2；
(2)e＝各面多邊形邊數和的一半；
(3)e＝頂點數與共頂點稜數積的一半。
8．經緯度及球面距離
⑴根據經線和緯線的意義可知，某地的經度是乙個二面角的度數，某地的緯度是乙個線面角的度數，設球o的地軸為ns，圓o是0°緯線，半圓nas是0°經線，若某地p是在東經120°，北緯40°，我們可以作出過p的經線nps交赤道於b，過p的緯線圈圓o1交nas於a，那麼則應有：∠ao1p=120°(二面角的平面角) ，∠pob=40°（線面角）。
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