1．（本小題滿分12分）(2014福建理)
在平行四邊形中，，.將沿折起，使得平面平面，如圖.
（1）求證： ；
（2）若為中點，求直線與平面所成角的正弦值.
2．(本小題滿分12分)(2014湖南理)
如圖6，四稜柱的所有稜長都相等，，，四邊形和四邊形均為矩形.
（1） 證明：底面;
（2）若，求二面角的余弦值.
3．（2014遼寧理）（本小題滿分12分）
如圖，和所在平面互相垂直，且，，e、f分別為ac、dc的中點.
（1）求證：；
（2）求二面角的正弦值.
4．（本小題滿分14分）（2012東莞一模理）
已知斜三稜柱的底面是直角三角形，，側稜與底面所成角為，點在底面上的射影落在上．
（1）求證：平面；
（2）若，且當時，
求二面角的大小．
5.（本題滿分12分）
如圖，已知菱形中，.沿著對角線將菱形折成三稜錐，且在三稜錐中，，為中點．
（ⅰ）證明：平面；
（ⅱ）求平面與平面夾角的余弦值．
6．（2013遼寧理數）（本小題滿分12分）
如圖，（）求證：
（）7．（2023年高考新課標ⅰ理）
如圖，三稜柱中, , ,.
(ⅰ)證明：
(ⅱ)若平面⊥平面，，求直線與平面所成角的正弦值.
8. 在三稜柱中，，平面，且．
（ⅰ）若p為稜的中點，求出二面角的平面角的余弦值．
（ⅱ）證明：平面與平面一定不垂直
1．(1)證明：∵平面平面，平面平面， 平面，，∴⊥平面.
又平面，∴ .
(2)過點在平面內作.
由(1)知⊥平面， 平面， 平面，
∴.以為座標原點，分別以、、的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角座標系(如圖所示)．
依題意，得，.
則．設平面的法向量，
則即取，得平面的乙個法向量
設直線與平面所成角為，
則即直線與平面所成角的正弦值為.
2．解：（1）如圖(a)，因為四邊形為矩形，
所以，同理.
由題知，，，
所以，，
又，故底面.
(2)解法1 ：如圖(a)，過作於，
連線.由(1)知，底面，
所以底面，於是. ，
又因為四稜柱的所有稜長都相等，
所以四邊形為菱形，因此，
從而平面,所以，
於是平面，進而，
故是二面角的平面角.
不妨設,因為，所以，，
在中，易知，，故，
即二面角的余弦值為.
解法2：因為四稜柱的所有稜長都相等，所以四邊形為菱形，
因此，又底面，從而，，兩兩垂直.
如圖(b)，以o為座標原點，，，分別為x軸， y軸，z軸建立空間座標系.
不妨設,因為，
所以，於是相關各點的座標為：，，，
易知是平面的乙個法向量，
設是平面的乙個法向量,
則，即，
取，則，於是.
設二面角的大小為，易知為銳角，於是
.即二面角的余弦值為.
3．（方法一）（1）證明： 過e作,垂足為o，連of。
∵，，∴，∴，
∵e、f分別為ac、dc的中點，
∴， ∴
又∵，∴,∴，即，。
∵∴平面。
因為平面，所以。
（2）解：在（ⅰ）圖中，作，連。
∵，，，
∴平面dbc ∴
∵，∴平面
∴，又∴為二面角的平面角。
在中， 。
由,得。
中， ，∴。
3．(方法二):由題意，以為座標原點，在平面內
過作垂直的直線，並將其作為軸，所在
直線為軸，在平面內過作垂直的直線，
並將其作為軸，建立如圖所示的空間直角座標系，
易得，，因而，，
（1）因此,
從而，所以.
（2）易知平面bfc的乙個法向量為．
設平面bef的法向量，
由（1）知,，
所以,即
取,得．
設二面角ebfc的大小為θ，則由題知θ為銳角，
所以從而，即所求二面角正弦值為.
4．解：（1）∵點在底面上的射影落在上，∴平面，
平面，∴又∵
∴，，∴平面．…………4分
（2）以為原點，為x軸，為軸，
過點且垂直於平面的直線為軸，
建立空間直角座標系，則，，
，，．顯然，平面
的法向量．…………7分
設平面的法向量為，
由，即，
得12分
∴， ∴二面角的大小是．…14分
5. 解：（ⅰ）證明：由題設，
鏈結，為等腰直角三角形，
所以，且，
又為等腰三角形，故，且，
從而．所以為直角三角形，．
又．所以平面.………………6分
（ⅱ）法一：（傳統法）取的中點，連線
設菱形的邊長為∵∴且
由（ⅰ）知， ∴且
∴就是二面角的平面角
由（ⅰ）知，平面 ∴
又，為中點．∴
而∴平面∴∴
法二：（向量法）以為座標原點，射線分別為
軸、軸的正半軸，建立如圖的空間直角座標系．
設，則，，
.，.設平面的法向量，
由，令，得；
由（ⅰ）可知平面，因此取平面的法向量
.……10分
設平面與平面的夾角為，則.……12分
6．（）證明：由是圓的直徑，得
由平面，平面，得
又，平面，平面，
∴平面又∵平面
∴（）解法一：過作，則平面
如圖，以點為座標原點，分別以直線、、為軸、軸、軸建立空間直角座標系
∵∴∴、、
故， 設平面的法向量為，則
所以，不妨令，則
因為設平面的法向量為，則
所以，不妨令，則
於是所以由題意知是
解法二：過作於，過作於，鏈結
∵平面，平面
∴，故平面
由三垂線定理得
∴為平面角。
在中，由得
在中，由得
∵∽，∴，故
又在中，，故。
所以是7．(ⅰ)取的中點,鏈結,,,
∵,=,∴是正三角形,
∵, ∴面, ∴
(ⅱ)由(ⅰ)知,
又∵平面⊥平面,平面平面,
∴平面,∴,
∴兩兩相互垂直,以為座標原點,的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立如圖所示空間直角座標系,
由題設知,
,則=,
設=是平面的法向量,
則,即,可取,
∴=,∴直線與平面所成角的正弦值為
8. (ⅰ) 解：以a為原點建立空間直角座標系（如圖），
設平面的法向量為，
則, 即
令, 故
又平面的乙個法向量為=（1,0,0），且二面角平面角為銳角
則故二面角的平面角的余弦值是
（ⅱ）證明：假設平面與平面垂直
因為，平面與平面交線為ac
所以a b平面，ab
又平面abc， ab
故矛盾，從而假設錯誤，原命題正確
即平面與平面一定不垂直
注：本題也可運用空間座標計算平面與平面法向量不垂直。
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