專題三立體幾何專題
【命題趨向】高考對空間想象能力的考查集中體現在立體幾何試題上，著重考查空間點、線、面的位置關係的判斷及空間角等幾何量的計算．既有以選擇題、填空題形式出現的試題，也有以解答題形式出現的試題．選擇題、填空題大多考查概念辨析、位置關係**、空間幾何量的簡單計算求解，考查畫圖、識圖、用圖的能力；解答題一般以簡單幾何體為載體，考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關係，以及空間幾何量的求解問題，綜合考查空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．試題在突出對空間想象能力考查的同時，關注對平行、垂直關係的**，關注對條件或結論不完備情形下的開放性問題的**．
【考點透析】立體幾何主要考點是柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特徵、三檢視、直觀圖，表面積體積的計算，空間點、直線、平面的位置關係判斷與證明，（理科）空間向量在平行、垂直關係證明中的應用，空間向量在計算空間角中的應用等．
【例題解析】
題型1 空間幾何體的三檢視以及面積和體積計算
例1（2008高考海南寧夏卷）某幾何體的一條稜長為，在該幾何體的正檢視中，這條稜的投影是長為的線段，在該幾何體的側檢視與俯檢視中，這條稜的投影分別是長為和的線段，則的最大值為
abc． 4d．
分析：想像投影方式，將問題歸結到乙個具體的空間幾何體中解決．
解析：結合長方體的對角線在三個面的投影來理解計算，如圖設長方體的高寬高分別為，由題意得， ，
，，所以
， 當且僅當時取等號．
點評：本題是課標高考中考查三檢視的試題中難度最大的乙個，我們通過移動三個試圖把問題歸結為長方體的一條體對角線在三個面上的射影，使問題獲得了圓滿的解決．
例2 （2008高考山東卷、2023年福建省理科數學高考樣卷第3題）下圖是乙個幾何體的三檢視，根據圖中資料，可得該幾何體的表面積是
abcd．
分析：想像、還原這個空間幾何體的構成，利用有關的計算公式解答．
解析：這個空間幾何體是由球和圓柱組成的，圓柱的底面半徑是，母線長是，球的半徑是，故其表面積是，答案d．
點評：由三檢視還原空間幾何體的真實形狀時要注意「高平齊、寬相等、長對正」的規則．
例3（江蘇省蘇州市2009屆高三教學調研測試第12題）已知乙個正三稜錐的主檢視如圖所示，若，
，則此正三稜錐的全面積為
分析：正三稜錐是頂點在底面上的射影是底面正三角形的中心的三稜錐，根據這個主試圖知道，主試圖的投影方向是面對著這個正三稜錐的一條側稜，並且和底面三角形的一條邊垂直，這樣就知道了這個三稜錐的各個稜長．
解析：這個正三稜錐的底面邊長是、高是，故底面正三角形的中心到乙個頂點的距離是，故這個正三稜錐的側稜長是，由此知道這個正三稜錐的側面也是邊長為的正三角形，故其全面積是，答案．
點評：由空間幾何體的乙個檢視再加上其他條件下給出的問題，對給出的這「乙個檢視」要仔細辨別投影方向，這是三檢視問題的核心．
題型2 空間點、線、面位置關係的判斷
例4（江蘇蘇州市2009屆高三教學調研測試7）已知是兩條不同的直線，為兩個不同的平面，有下列四個命題：
①若，，則；
②若，則；
③若，則；
④若，則．
其中正確的命題是（填上所有正確命題的序號
分析：根據空間線面位置關係的判定定理和性質定理逐個作出判斷．
解析：我們借助於長方體模型解決．①中過直線作平面，可以得到平面所成的二面角為直二面角，如圖（1），故①正確；②的反例如圖（2）；③的反例如圖（3）；④中由可得，過作平面可得與交線平行，由於，故．答案①④．
點評：新課標的教材對立體幾何處理的基本出發點之一就是使用長方體模型，本題就是通過這個模型中提供的空間線面位置關係解決的，在解答立體幾何的選擇題、填空題時合理地使用這個模型是很有幫助的．
例5（浙江省2023年高考省教研室第一次抽樣測試理科第5題）設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題正確的是
a．若，則 b．若則
c．若，則 d．若則
分析：借助模型、根據線面位置關係的有關定理逐個進行分析判斷．
解析：對於，結合則可推得．答案c．
點評：從上面幾個例子可以看出，這類空間線面位置關係的判斷類試題雖然形式上各異，但本質上都是以空間想象、空間線面位置關係的判定和性質定理為目標設計的，主要是考查考生的空間想象能力和對線面位置關係的判定和性質定理掌握的程度．
題型3 空間平行與垂直關係的證明、空間幾何體的有關計算（文科解答題的主要題型）
例6．(2009江蘇泰州期末16)如圖所示，在稜長為的正方體中，、分別為、的
中點．（1）求證： //平面；
（2）求證：；
（3）求三稜錐的體積．
分析：第一問就是找平行線，最明顯的就是；第二問轉化為線面垂直進行證明；第三問採用三稜錐的等積變換解決．
解析：（1）鏈結，如圖，在中，
、分別為，的中點，則
平面．（2）
（3）平面，且，
，，∴ 即，
== ．
點評：這個題目也屬於文科解答題的傳統題型．空間線面位置關係證明的基本思想是轉化，根據線面平行、垂直關係的判定和性質，進行相互之間的轉化，如本題第二問是證明線線垂直，但問題不能只侷限**上，要把相關的線歸結到某個平面上（或是把與這些線平行的直線歸結到某個平面上，通過證明線面的垂直達到證明線線垂直的目的，但證明線面垂直又得借助於線線垂直，在不斷的相互轉化中達到最終目的．立體幾何中的三稜柱類似於平面幾何中的三角形，可以通過「換頂點」實行等體積變換，這也是求點面距離的基本方法之一．
例7．（江蘇省蘇州市2009屆高三教學調研測試第17題）在四稜錐中，，，平面，為的中點，．
（1）求四稜錐的體積；
（2）若為的中點，求證平面；
（3）求證∥平面．
分析：第一問只要求出底面積和高即可；第二問的線面垂直通過線線垂直進行證明；第三問的線面平行即可以通過證明線線平行、利用線面平行的判定定理解決，也可以通過證明面面平行解決，即通過證明直線所在的乙個平面和平面的平行解決．
解析：（1）在中，，∴，．
在中，，∴．
∴．則．
（2）∵，為的中點，∴．
∵平面，∴，∵，，∴平面，∴．
∵為中點，為中點，∴∥，則，∵，∴平面．
（3）證法一：
取中點，連．則∥，∵平面， 平面，
∴∥平面．
在中，，，∴．而，∴∥．
∵平面， 平面，
∴∥平面．
∵，∴平面∥平面．
∵平面，∴∥平面．
證法二：延長，設它們交於點，
連．∵，，
∴為的中點． ∵為中點，∴∥．
∵平面， 平面，
∴∥平面．
點評：新課標高考對文科的立體幾何與大綱的高考有
了諸多的變化．乙個方面增加了空間幾何體的三檢視、
表面積和體積計算，拓展了命題空間；另一方面刪除了
三垂線定理、刪除了凸多面體的概念、正多面體的概念
與性質、球的性質與球面距離，刪除了空間向量，這就給立體幾何的試題加了諸多的枷鎖，由於這個原因課標高考文科的立體幾何解答題一般就是空間幾何體的體積和表面積的計算、空間線面位置關係的證明（主要是平行與垂直）．
題型4 空間向量在立體幾何中的應用（理科立體幾何解答題的主要題型）
例8．（2023年福建省理科數學高考樣卷第18題）如圖，在稜長為的正方體中，分別為和的中點．
（1）求證：∥平面；
（2）求異面直線與所成的角的余弦值；
（3）在稜上是否存在一點，使得二面角的大小為?若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．
【解析】解法一：如圖分別以所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角座標系，
由已知得、、、、、、、．
（1）取中點，則，
，又，由，
∴與共線．從而∥，
∵平面，平面，∴∥平面．
（2）∵，
，∴異面直線與所成角的余弦值為．
（3）假設滿足條件的點存在，可設點（），平面的乙個法向量為，
則∵，∴
取．易知平面的乙個法向量，
依題意知，或，
∴，即，解得
∵，∴在稜上存在一點，當的長為時，二面角的大小為．
解法二：
（1）同解法一知，，，∴，∴、、共面．又∵平面，∴∥平面．
（2）、（3）同解法一．
解法三：易知平面的乙個法向量是．又∵，由·，
∴，而平面，∴∥平面．
（2）、（3）同解法一．
點評：本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關係、二面角的概念等基礎知識；考查空間想像能力、推理論證能力和探索問題、解決問題的能力．利用空間向量證明線面平行的方法基本上就是本題給出的三種，一是證明直線的方向向量和平面內的一條直線的方向向量共線，二是證明直線的方向向量和平面內的兩個不共線的向量共面、根據共面向量定理作出結論；三是證明直線的方向向量與平面的乙個法向量垂直．
例9（浙江寧波市2008學年度第一學期期末理科第20題）已知幾何體的三檢視如圖所示，其中俯檢視和側檢視都是腰長為的等腰直角三角形，正檢視為直角梯形．
（1）求異面直線與所成角的余弦值；
（2）求二面角的正弦值；
（3）求此幾何體的體積的大小．
【解析】（1）取的中點是，鏈結，則，∴或其補角即為異面直線與所成的角．在中，，．∴．
∴異面直線與所成的角的余弦值為．
（2）平面，過作交於，鏈結．
可得平面，從而,
∴為二面角的平面角．
在中，，，
,∴．∴．
∴二面角的的正弦值為．
（3），∴幾何體的體積為．
方法二：（座標法）（1）以為原點，
以所在直線為軸建立空間直角座標系．
則，，，， ，∴
∴異面直線與所成的角的余弦值為．
（2）平面的乙個法向量為，
設平面的乙個法向量為， ∴
從而,令，則,
∴二面角的的正弦值為．
（3），∴幾何體的體積為．
點評：本題考查異面直線所成角的求法、考查二面角的求法和多面體體積的求法．空間向量對解決三類角（異面直線角、線面角、面面角）的計算有一定的優勢．對理科考生來說除了要在空間向量解決立體幾何問題上達到非常熟練的程度外，不要忽視了傳統的方法，有些試題開始部分的證明就沒有辦法使用空間向量．
【專題訓練與高考**】
說明：文科以選擇題、填空題和解答題前三題為主．理科以選擇題、填空題和解答題後三題為主．
一、選擇題
1．如圖為乙個幾何體的三檢視，尺寸如圖所示，則該幾何體的表面積為（不考慮接觸點）
高三數學立體幾何
一 選擇題 1.2011年高考江西卷文科 將長方體截去乙個四稜錐，得到的幾何體如右圖所示，則該幾何體的左檢視為 2.2011年高考重慶卷文科 高為的四稜錐的底面是邊長為1的正方形，點 均在半徑為1的同一球面上，則底面的中心與頂點之間的距離為 abc d 3.2010浙江理數 設，是兩條不同的直線，是...
高三文科數學立體幾何專題
6 在正方體abcd a1b1c1d1中，e f g h分別為稜bc cc1 c1d1 aa1的中點，o為ac與bd的交點 如圖 求證 1 eg 平面bb1d1d 2 平面bdf 平面b1d1h 3 a1o 平面bdf 4 平面bdf 平面aa1c 解析 1 欲證eg 平面bb1d1d，須在平面bb...
高三理科數學小綜合專題練習 立體幾何
立體幾何 一 選擇題 1 已知直線 平面 且，則是的 充要條件充分不必要條件 必要不充分條件 既不充分也不必要條件 2 如圖，水平放置的三稜柱的側稜長和底邊長均為2，且側稜aa1 面a1b1c1，正檢視是邊長為2的正方形，俯檢視為乙個等邊三角形，該三稜柱的左檢視面積為 a.b.c.d.4 3 如右圖...