2010屆高考數學難點突破訓練
立體幾何
1. 將兩塊三角板按圖甲方式拼好，其中，，，，現將三角板沿折起，使在平面上的射影恰好在上，如圖乙．
(1)求證：平面；
(2)求二面角的大小；
(3)求異面直線與所成角的大小．
2. 如圖，在正三稜柱中，各稜長都等於a，d、e分別是、的中點，
（1）求證：de是異面直線與的公垂線段，並求其長度；
（2）求二面角的大小；
（3）求點到平面aec的距離．
3. 如圖，在稜長為a的正方體中，e、f分別為稜ab和bc的中點，ef交bd於h．
（1）求二面角的正切值；
（2）試在稜上找一點m，使平面，並證明你的結論；
（3）求點到平面的距離．
4. 如圖，斜三稜柱abc—a1b1c1的底面是直角三角形，ac⊥cb，∠abc=45°，側面
a1abb1是邊長為a的菱形，且垂直於底面abc，∠a1ab=60°，e、f分別是ab1、
bc的中點.
（1）求證ef//平面a1acc1；
（2）求ef與側面a1abb1所成的角；
（3）求三稜錐a—bce的體積.
5. 已知直三稜柱abc—a1b1c1中，△abc為等腰直角三角形，∠bac＝90°，且ab＝aa1，d、e、f分別為b1a、c1c、bc的中點。
（i）求證：de∥平面abc；
（ii）求證：b1f⊥平面aef；
（iii）求二面角b1—ae—f的大小（用反三角函式表示）。
6. 在直角梯形abcd中，∠a=∠d=90°，ab＜cd，sd⊥平面abcd，ab=ad=a，
s d=，**段sa上取一點e（不含端點）使ec=ac，截面cde與sb交於點f。
（ⅰ）求證：四邊形efcd為直角梯形；
（ⅱ）求二面角b-ef-c的平面角的正切值；
（ⅲ）設sb的中點為m，當的值是多少時，能使△dmc為直角三角形？請給出證明。
7. 如圖，已知正四稜柱的底面邊長為3，側稜長為4，鏈結，過a作，垂足為f，且af的延長線交於e。
（i）求證：平面aec
（ii）求三稜錐的體積
（iii）求二面角的正切值。
8. 如圖．已知斜三稜柱abc-的各稜長均為2，側稜與底面abc所成角為，且側面垂直於底面abc．
（1）求證：點在平面abc上的射影為ab的中點；
（2）求二面角c--b的大小；
（3）判斷與是否垂直，並證明你的結論．
9. 如圖，以正四稜錐v-abcd底面中心o為座標原點建立空間直角座標系o-xyz，其中ox∥bc，oy∥ab，e為vc中點，正四稜錐底面邊長為2a，高為h．
（1）求cos（，）；
（2）記麵bcv為 ，面dcv為 ，若∠bed是二面角 vc- 的平面角，求∠bed．
10. 已知長方體abcd-中，稜ab＝bc＝3，＝4，鏈結，過b點作的垂線交於e，交於f．
（1）求證：⊥平面ebd；
（2）求ed與平面所成角的大小；
（3）求二面角e-bd-c的大小．
11. 如圖，在正方體abcd-中，e、f分別是，cd的中點．
（1）證明：ad⊥；
（2）求ae與所成的角；
（3）證明：面aed⊥面；
（4）設＝2，求三稜錐f-的體積．
12. 已知長方體abcd-a1b1c1d1中，e為aa1上一點，平面b1ce⊥平面bce，ab=bc=1，aa1=2。
（1）求平面b1ce與平面b1be所成二面角的大小；（文科只要求求tan）
（2）求點a到平面b1ce的距離。
13. 已知正三稜柱abc—a1b1c1的底邊長為1，高為h(h>3)，點m在側稜bb1上移動，到底面abc的距離為x，且am與側面bcc1所成的角為α；
（ⅰ）（本問6分）若α在區間上變化，求x的變化範圍；
（ⅱ）（本問6分）若所成的角.
14. 如圖所示，pd垂直於正方形abcd所在平面，ab＝2，e是pb的中點，與夾角的余弦值為
（1）建立適當的空間座標系，寫出點e的座標；
（2）在平面pad內求一點f，使ef平面pcb．
15.如圖所示，已知直三稜柱中，＝90o，側面與側面所成的二面角為60°，m為上的點， 30°， 90°，．
（1）求bm與側面所成角的正切值；
（2）求頂點a到面的距離．
16.如圖，斜三稜柱，已知側面與底面abc垂直且∠bca=90°，∠， =2，若二面角為30°，
（ⅰ）證明
（ⅱ）求與平面所成角的正切值；
（ⅲ）在平面內找一點p，使三稜錐為正三稜錐，並求p到平面距離
17. 已知平行六面體的底面為正方形，分別為上、下底面的中心，且在底面的射影是。
（i）求證：平面平面
（ii）若點分別在稜上上，且，問點在何處時，
（iii）若，求二面角的大小（用反三角函式表示）
參***
1. （1）設在的射影為，則平面，
， 又，平面
，又，平面
（2）由（1），又， 為中點
以為軸，為軸，過且與平行的直線為軸建系，則
設為平面的法向量，由，可得
易知為平面的法向量，
所以所求二面角為
（3），所以所求角為
2. （1）取ac中點f，連線df．因為d是的中點，所以df∥，且．又，e是的中點，所以df∥be，df＝be，所以四邊形bedf是平行四邊形，所以de∥bf，de＝bf．因為⊥面abc，面abc，所以⊥bf．又因為f是ac的中點，△abc是正三角形，所以bf⊥ac，．因為⊥bf，∥，所以bf⊥，所以bf⊥面，又因為面，所以bf⊥，因為de∥bf，所以de⊥，de⊥，所以de是異面直線與的公垂線段，且． （2）因為，de⊥，所以de⊥，又因為de⊥，所以de⊥面．又面，所以面⊥面，所以二面角的大小為90°． （3）連線ce，則三稜錐的底面面積為，高．所以．在三稜錐中，底面△aec中，，則其高為a，所以．設點到平面aec的距離為d，由得，所以，即點到平面aec的距離為
3. （1）連ac，，則ef∥ac，因為ac⊥bd，所以bd⊥ef．因為⊥平面abcd，所以⊥ef，所以∠為二面角的平面角．在rt△中，，．所以． （2）在稜上取中點m，連，因為ef⊥平面，所以ef⊥．在正方形中，因為m，f分別為，bc的中點，所以⊥．又因為⊥平面，所以⊥，所以⊥，所以⊥平面． （3）設與平面交於點n，則為點到平面的距離．在rt△中，．因為，，所以，故點到平面的距離為
4. （1）∵a1abb1是菱形，e是ab1中點， ∴e是a1b中點，
連a1c ∵f是bc中點， ∴ef∥a1c
∵a1c平面a1acc1，ef平面a1acc1， ∴ef//平面a1acc1
（2）作fg⊥ab交ab於g，連eg ∵側面a1abb1⊥平面abc且交線是ab
∴fg⊥平面a1abb1，∴∠feg是ef與平面a1abb1所成的角
由ab=a，ac⊥bc，∠abc=45°，得
由aa1=ab=a，∠a1ab=60°，
得 （3）va—bce=ve—abc 由②eg⊥ab，平面a1abb1⊥平面abc，∴eg⊥平面abc
5. 解法一：
（i）連線a1b、a1e，並延長a1e交ac的延長線於點p，連線bp。
由e為c1c的中點，a1c1∥cp
可證a1e＝ep
∵d、e是a1b、a1p的中點，∴de∥bp
又∵bp平面abc，de平面abc，
∴de∥平面abc 4分
（ii）∵△abc為等腰直角三角形，f為bc的中點
∴bc⊥af，又∵b1b⊥平面abc，
由三垂線定理可證b1f⊥af
設ab＝a1a＝a
則∴∵ 9分
（iii）過f做fm⊥ae於點m，連線b1m
∵b1f⊥平面aef，
由三垂線定理可證b1m⊥ae
∴∠b1mf為二面角b1—ae—f的平面角
c1c⊥平面abc，af⊥fc，由三垂線定理可證ef⊥af
在rt△aef中，可求
在rt△b1fm中，∠b1fm＝90°，
∴∴∴二面角b1—ae—f的大小為 14分
解法二：
如圖建立空間直角座標系o—xyz
令ab＝aa1＝4，
則a（0，0，0），e（0，4，2），f（2，2，0），b（4，0，0），b1（4，0，4） 2分
（i）同解法一 6分
（ii）
∴∴∵ 10分
（iii）（★有個別學生按超出課本要求的方法求解，按此標準給分）
平面aef的法向量為，設平面b1ae的法向量為
即令x＝2，則
∴∴二面角b1—ae—f的大小為
6. （ⅰ）∵ cd∥ab，ab平面sab ∴cd∥平面sab面efcd∩面sab=ef，
∴cd∥ef ∵又面
∴平面sad，∴又
為直角梯形
（ⅱ）平面∥平面sad即為二面角
d—ef—c的平面角
中而且為等腰三角形，
（ⅲ）當時，為直角三角形
平面平面
在中，為sb中點，
平面平面為直角三角形
7. （i）是正四稜柱
平面abcd
連ac，又底面abcd是正方形
由三垂線定理知，
同理，平面aec5分
（ii）
平面abc
的長為e點到平面abc的距離
（iii）連cf
平面，又
由三垂線定理知，
於是，為二面角的平面角
在中，在中，即二面角的正切角為
8. （1）如圖，在平面內，過作⊥ab於d，
∵ 側面⊥平面abc，
∴ ⊥平面abc，是與平面abc所成的角，∴ ＝60°．
∵ 四邊形是菱形，
∴ △為正三角形，
∴ d是ab的中點，即在平面abc上的射影為ab的中點．
高三數學立體幾何
一 選擇題 1.2011年高考江西卷文科 將長方體截去乙個四稜錐，得到的幾何體如右圖所示，則該幾何體的左檢視為 2.2011年高考重慶卷文科 高為的四稜錐的底面是邊長為1的正方形，點 均在半徑為1的同一球面上，則底面的中心與頂點之間的距離為 abc d 3.2010浙江理數 設，是兩條不同的直線，是...
高三數學立體幾何專題
專題三立體幾何專題 命題趨向 高考對空間想象能力的考查集中體現在立體幾何試題上，著重考查空間點 線 面的位置關係的判斷及空間角等幾何量的計算 既有以選擇題 填空題形式出現的試題，也有以解答題形式出現的試題 選擇題 填空題大多考查概念辨析 位置關係 空間幾何量的簡單計算求解，考查畫圖 識圖 用圖的能力...
2019屆高三數學立體幾何文
高三數學試題立體幾何文 一 選擇題 1.設表示三條直線，表示兩個平面，則下列命題中逆命題不成立的是 a 若，則 b 若，則 c 若，則 d 若 則 2.已知為不重合的兩個平面，直線那麼 是 的 a 充分而不必要條件 b 必要而不充分條件 c 充分必要條件d 既不充分也不必要條件 3.已知是兩個不同的...