空間簡單幾何體
一.技能要求：
1.了解柱、錐、臺、球的定義、結構特徵、性質及它們之間的關係.
(直稜柱:側稜與底面垂直的稜柱.正稜柱:底面是正多邊形的直稜柱. 正稜錐:底面是正多邊形,稜錐的頂點在底面的射影是正多邊形的中心,各側面是全等的等腰三角形.)
2.能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、稜柱等的簡易組合）的三檢視,能識別上述的三檢視所表示的立體模型,會用斜二側法畫出它們的直觀圖.
3.掌握球、稜柱、稜錐、臺的表面積和體積的計算公式.
二.知識點梳理:
1.稜柱、稜錐、稜臺的結構特徵
(1).稜柱:有兩個面互相平行,其餘各面都是四邊形,並且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的多面休叫做稜柱.
(2).稜錐:有乙個面是多邊形,其餘各面都是有乙個公共頂點的三角形,由這些面所圍成的多面體叫做稜錐.
(3).用乙個平行於稜錐底面的平面去截稜錐,底面與截面之間部分,這樣的多面體叫做稜臺.
2.空間幾何體的表面積
(1).稜柱、稜錐、稜臺表面積的計算:稜柱、稜錐、稜臺是由若干個平面圖形圍成的幾何體,，它們的表面積就是各表面的面積之和．
(2).圓柱、圓錐、圓台的表面積
圓柱:圓柱的側面展開圖是乙個矩形,如果圓柱的底面半徑為,母線長為,則圓柱的表面積為.
圓錐:圓錐的側面展開圖是乙個扇形.如果圓錐的底面半徑為,母線長為,則圓錐的表面積為.
圓台:圓台的側面展開圖是乙個扇環.如果圓台的上、下底面半徑為,母線長為,則圓台的表面積為．
3.柱體、錐體、台體的體積
(1).柱體的體積公式:（為底面面積,為高）．
(2).錐體的體積公式:（為底面面積,為高）．
(3).台體的體積公式:（分別為上下底面面積,為高）．
(4).柱體、錐體、台體的體積公式之間的關係:
柱體台體錐體
4.球的表面積和體積:
(1).球的體積公式:; (2).球的表面積公式: (為球的半徑).
5.三檢視
正檢視(主檢視):與實物等長等高; 側檢視(左檢視):與實物等寬等高;
俯檢視:與實物等長等寬.
6.直觀圖(斜二測畫法)的步驟:(1).將平面直角座標系中軸與軸的夾角由變成,其中軸不變,隻變軸; (2).與軸平行的直線長度不變,與軸平行的直線長度變成原來的一半.
三.例題分析:
例1.畫出下列幾何體的三檢視：
小結:(1)三檢視的畫法規則:正側俯
(2)三檢視的擺放規則:正側一樣高,正俯一樣長,俯側一樣寬.
例2. (2011廣東9)如圖,某幾何體的正檢視,側檢視和俯檢視分別是等邊三角形等腰三角形和菱形,則該幾何體體積為(c)
a.b.4
c.d.2變式:1.（山東卷6）右圖是乙個幾何體的三檢視,根據圖中資料,可得該幾何體的表面積是（d）
a.b.
c.d. 2.乙個空間幾何體的主檢視和左檢視都是邊長為1的正方形,俯檢視是乙個直徑為1的圓,那麼這個幾何體的全面積為(a)
a.b.
c.d.3.乙個所有邊長和稜長都是2的正三稜錐的表面積和體積分別是.
4.乙個稜錐的三檢視如圖（尺寸的長度單位為m），則該稜錐的體積是.
正檢視側檢視俯檢視
5.如右圖為乙個幾何體的三檢視,其中府檢視為正三角形,a1b1=2,aa1=4，則該幾何體的表面積為(c)
a.6+
b.24+
c.24+2
d.32
6.(2012廣一模理9)如圖2是乙個空間幾何體的三檢視，則該幾何體的體積為．
7.(2012廣東理6)某幾何體的三檢視如上圖1所示，它的體積為(c)
a. b
c. d.
8.(2013廣東理5)某四稜臺的三檢視如圖所示,則該四稜臺的體積是 (b)ab
cd.6
【解析】b；由三檢視可知,該四稜臺的
上下底面邊長分別為和的正方形,高
為,故,
,故選b．
9.(2013廣一模理5).某空間幾何體的三檢視及尺寸如圖1，則該幾何體的體積是(a)
a.2b.1
cd.10.(2014廣一模理11)乙個四稜錐的底面為菱形，其三檢視如圖3所示，則這個四稜錐的體積是_____4___．
11.(2015廣一模理)已知某錐體的正檢視和側檢視如圖2,其體積
為，則該錐體的俯檢視可以是(c)
圖2 abcd
例3.乙個球的外切正方體的全面積等於6 cm2,則此球的體積為(c)
a. b.
c. d.
附:(1).球內切於正方體的各個面,則 2r=;
(2).球外置於正方體的各個頂點,則 2r=;
(3).球外置於長方體的各個頂點,則 2r=;
(4).球與正方體的12條稜相切,則 2r=.
變式:1.(2009江西)體積為8的乙個正方體,其全面積與球o的表面積相等,則球o的體積等於.
2.若兩個球的表面積之比為1:4,則它的體積之比為(b)
a. b. c. d.
3.正方體的內切球與外接球半徑之比為( c )
a. b. c. d.
4.乙個正方體的頂點都在球面上,稜長為2,那麼這個球的體積為.
5.球的半徑擴大為原來的2倍,它的體積擴大為原來的 8 倍.
空間點、直線、平面之間的位置關係
一.技能要求:
1.掌握平面的概念及點、直線、平面位置關係的表示方法.
2.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關係,掌握異面直線所成角的求解方法;了解直線與平面所成角,平面與平面(二面角)所成角的求法.
3.掌握直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行、垂直的證明方法;
平行證明方法總結垂直證明方法總結:
1.證明直線與直線平行的方法1.證明直線與直線垂直的方法:
(1)三角形中位線1)轉化為證明直線與平面垂直
(2)平行四邊形2)直角三角形(直角,勾股定理, 直徑
所對的圓周角)
（證法：一組對邊平行且相等3)等腰三角形底邊上的中線垂直底邊
4)菱形的對角線互相垂直
2.證明直線與平面平行的方法2.證明直線與平面垂直的方法:
(1)平面外一條直線與平面內的一條直線平行 (1)直線與平面內兩條相交直線垂直
(2)先證麵麵平行2)兩個平面垂直,乙個平面內垂直交
線的直線垂直另乙個平面
3.證明平面與平面平行的方法3.證明平面與平面垂直的方法:
乙個平面內的兩條相交直線分別與另一乙個平面內有一條直線與另乙個
平面平行平面垂直
一.選擇題:
1.（2023年高考浙江卷）設是兩條不同的直線,α.β是兩個不同的平面(c)
a.若m∥α,n∥α,則m∥n b.若m∥α,m∥β,則α∥β
c.若m∥n,m⊥α,則n⊥α d.若m∥α,α⊥β,則m⊥β
2.（2013廣東）設為直線,是兩個不同的平面,下列命題中正確的是（b）
a．若, ,則 b．若, ,則
c．若, ,則 d．若, ,則
3.【2012高考浙江】 設是直線，a，β是兩個不同的平面(b)
a. 若∥a，∥β，則ab. 若∥a，⊥β，則a⊥β
c. 若a⊥β，⊥a，則d. 若a⊥β,∥a，則⊥β
4.(2014遼寧4)已知m，n表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確的是（b）
a.若則 b.若，，則
c.若，，則 d.若，，則
二.解答題:
1.已知空間四邊形中,e,f分別是ab,ad的中點,求證:ef//平面bcd.
2.在四稜錐中，m、n分別是ab，pc的中點，若四邊形abcd是平行四邊形，求證：mn//平面pad
3.如圖所示的幾何體中,平面abc,且ac=bc,m是ab的中點,求證:cm.
4.如右圖所示,sa平面abc, ,ae且且,求證:
(1).bc平面sab
(2).ae平面sbc
(3).scef
5.在空間四邊形abcd中,e,f分別是ad,bc的中點,若ac=bd=,
,求證:bd平面acd
立體幾何（空間向量）
知識點梳理：1,
2.模長公式:若, , 則,
3.夾角公式:
δabc中①<=>a為銳角②<=>a為鈍角，鈍角δ
3.兩點間的距離公式：若, ,
則,或4.空間向量與立體幾何:
(1).線線平行兩線的方向向量平行
(2).線面平行線的方向向量與面的法向量垂直
(3).麵麵平行兩面的法向量平行
(4).線線垂直（共面與異面）兩線的方向向量垂直
(5).線面垂直線與面的法向量平行
(6).麵麵垂直兩面的法向量垂直
高三數學立體幾何
一 選擇題 1.2011年高考江西卷文科 將長方體截去乙個四稜錐，得到的幾何體如右圖所示，則該幾何體的左檢視為 2.2011年高考重慶卷文科 高為的四稜錐的底面是邊長為1的正方形，點 均在半徑為1的同一球面上，則底面的中心與頂點之間的距離為 abc d 3.2010浙江理數 設，是兩條不同的直線，是...
高三理科立體幾何垂直證明練習
1.如圖，和所在平面互相垂直，且，e f分別為ac dc的中點.1 求證 2 求二面角的正弦值.證明 方法一 過e作eo bc，垂足為o，連of，由 abc dbc可證出 eoc foc，所以 eoc foc 即fo bc，又eo bc，因此bc 面efo，又ef面efo，所以ef bc.方法二 由...
高三數學立體幾何專題
專題三立體幾何專題 命題趨向 高考對空間想象能力的考查集中體現在立體幾何試題上，著重考查空間點 線 面的位置關係的判斷及空間角等幾何量的計算 既有以選擇題 填空題形式出現的試題，也有以解答題形式出現的試題 選擇題 填空題大多考查概念辨析 位置關係 空間幾何量的簡單計算求解，考查畫圖 識圖 用圖的能力...