測試27 立體幾何綜合練習
一、選擇題
1．已知直線l⊥平面α，直線m平面β，有下面四個命題：
①α∥β→l⊥ml∥m；
③l∥mα⊥β； ④l⊥mα∥β．
其中正確的兩個命題是
(a)①與b)③與④
(c)②與d)①與③
2．已知正四稜柱abcd－a1b1c1d1中，aa1＝2ab，e為aa1中點，則異面直線be與cd1所成角的余弦值是
(a) (b) (c) (d)
3．在直三稜柱abc－a1b1c1中，∠abc＝90°，ab＝1，bc＝2，aa1＝3，d，e分別在稜a1a，c1c上，且ad＝c1e，則四稜錐b－adec的體積是
(a) (b)1 (c) (d)2
4．已知經過球面上三點a，b，c的截面和球心的距離等於球半徑的一半，且ab＝bc＝ca＝2，則球的表面積是
(a) (b) (c) (d)
5．平面α的斜線ab交α於點b，過定點a的動直線l與ab垂直，且交α於點c，則動點c的軌跡是
(a)一條直線 (b)乙個圓 (c)乙個橢圓 (d)雙曲線的一支
二、填空題
6．設正方體的稜長為a，則以其六個面的中心為頂點的幾何體的體積是________．
7．直三稜柱abc－a1b1c1的各條稜長都相等，d是側面bb1c1c的中心，則ad與平面bb1c1c所成角的大小是________．
8．已知球o的面上四點a，b，c，d，da⊥平面abc，ab⊥bc，da＝ab＝bc＝，則球o的體積等於________．
9．已知三稜柱abc－a1b1c1的側稜與底面邊長都相等，a1在底面abc上的射影為bc的中點，則異面直線ab與cc1所成的角的余弦值為________．
10．水平桌面α上放有4個半徑為2r的球，且相鄰的球都相切(球心的連線構成正方形)．在這4個球的上面放1個半徑為r的小球，它和下面的4個球恰好都相切，則小球的球心到水平桌面α的距離是________．
三、解答題
11．如圖，正三稜柱abc－a1b1c1的所有稜長都為2，d為cc1中點．
(1)求四稜錐a1－bdc1b1的體積；
(2)求證：ab1⊥平面a1bd．
12．已知三稜錐p－abc中，e，f分別是ac，ab的中點，△abc，△pef都是正三角形，pf⊥ab．
(1)證明：pc⊥平面pab；
(2)若點p，a，b，c在乙個表面積為12π的球面上，求△abc的邊長．
13．如圖，正四稜錐s－abcd的側稜長是底面邊長的倍，p為側稜sd上的點．
(1)求證：ac⊥sd；
(2)若sd⊥平面pac，求二面角p－ac－d的大小；
(3)在(2)的條件下，側稜sc上是否存在一點e，使得be∥平面pac．若存在，求se：ec的值；若不存在，說明理由．
14．在五面體abcdef中，fa⊥平面abcd，ad∥bc∥fe，ab⊥ad，m為ec的中點，af＝ab＝bc＝ef＝ad．
(1)求異面直線bf與de所成角的大小；
(2)證明：平面amd⊥平面cde；
(3)求二面角a－cd－e的余弦值．
參***
測試27 立體幾何綜合練習
一、選擇題
1．d 2．c 3．b 4．c 5．a
二、填空題
6． 7．60° 8． 9． 10．3r
三、解答題
11．(1)取b1c1中點o1，鏈結a1o1，
∵△a1b1c1為正三角形，
∴a1o1⊥b1c1．
∵正三稜柱abc－a1b1c1中，
平面a1b1c1⊥平面bcc1b1，
∴a1o1⊥平面bcc1b1．
∵四邊形cdbb1是直角梯形，，
∴四稜錐a1－bdc1b1的體積．
(2)取bc中點o，鏈結ao．
同理可證ao⊥平面bcc1b1，∴bd⊥ao．
鏈結b1o，在正方形bb1c1c中，o，d分別為bc，cc1的中點，∴bd⊥b1o，
∴bd⊥平面ab1o，∴ab1⊥bd，
又正方形abb1a1中，ab1⊥a1b，
∴ab⊥平面a1bd．
12．(1)證明：鏈結cf．
∵pe＝ef＝bc＝ac，
∴點p在以ac為直徑的圓周上，
∴ap⊥pc．
∵cf⊥ab，pf⊥ab，
∴ab⊥平面pcf．
∴pc⊥ab，
∴pc⊥平面pab．
(2)解：設pa＝x，球半徑為r．
∵pe＝ef＝bc＝ab，
∴點p在以ab為直徑的圓周上，
∴ap⊥pb．
又pc⊥平面pab，
∴pa，pb，pc兩兩互相垂直，
∴x＝2r．
∵4πr2＝12π，r＝，
∴△abc的邊長為2．
13．連線bd，設ac∩bd＝o，如圖建立空間直角座標系．
(1)設ab＝a，則，
∴，，，
∴，．∵，
∴．(2)依題意，平面pac的乙個法向量，
平面dac，的乙個法向量列產品．
設二面角p－ac－d的平面角為θ，
，∴二面角p－ac－d的大小為30°．
(3)側稜sc上存在一點e，使得be//平面pac．
由(2)得是平面pac的乙個法向量，，．
設 ，
則 ，
而 ·＝0，解得．
即當se∶ec＝2∶1時，⊥，
∵be平面pac，
∴be∥平面pac．
14．如圖建立空間直角座標系，設ab＝1，
則b(1，0，0)，c(1，1，0)，d(0，2，0)，
e(0，1，1)，f(0，0，1)，m(，1，)，
(1)∵＝(－1，0，1)，＝(0，－1，1)，
∴cos＜，＞＝，
∴異面直線bf與de所成角的大小是60°．
(2)∵＝(，1，)，＝(－1，0，1)，＝(0，2，0)，
∴·＝0，·＝0，
∴ce⊥am，ce⊥ad，
∴ce⊥平面amd，
又ce平面cde，
∴平面amd⊥平面cde．
(3)設平面cde的法向量為u＝(x，y，z)，則
令x＝1，得u＝(1，1，1)．
又平面acd的法向量為v＝(0，0，1)，
∴cos＜u，v＞＝，
∴二面角a－cd－e的余弦值是．
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