2023年5月
一、選擇題：
二、填空題：
13．已知向量，，其中．則的取值範圍是_____.
14．已知，是兩個定點，，動點滿足，的垂直平分線交
於點，則的取值範圍是_____.
15．【理】正三稜柱中，，分別為側稜，上的動點（含端點），為的中點，且.則直線，所成角的大小為_____.
16．已知不等式組所表示的平面區域為，則的面積是_____；設點，且，當最小時，點座標為_____．
17. 如圖，圓形花壇分為部分，現在這部分種植花卉，要求
每部分種植種，且相鄰部分不能種植同一種花卉．現有
種不同的花卉供選擇，則不同的種植方案共有_____種．
（用數字作答）
18. 如果直線總不經過點，其中，那麼的取值範圍是_____.
19．已知全集為，，定義集合的特徵函式為對於，，給出下列四個結論：
① 對，有；
② 對，若，則；
③ 對，有；
④ 對，有．
其中，所有正確結論的序號是 ．
20．若實數滿足，，則的最大值是
21．若對，總有成立，則實數的取值範圍是
22．已知橢圓的兩個焦點分別為，點滿足，則的取值範圍是
23．已知點在曲線上，為曲線在點處的切線的傾斜角，則的取值範圍是
24．設，定義為不小於實數的最小整數（如）.若，則滿足的實數的取值範圍是______；若，則方程的根為_______.
25．在不超過的正整數中，每次不重複地取出個數，使其和能被整除.則不同取法的
種數為26．在中，若，則
27．【理】函式的最小值為
三、解答題：
28．設銳角三角形的內角的對邊分別為，且．
（ⅰ）求的大小；
（ⅱ）求的取值範圍．
29．如圖，在直角座標系中，點是單位圓上的動點，過點作軸的垂線與射線交於點．記，且．
（ⅰ）若，求；
（ⅱ）求的最小值.
30．在△中，已知，外接圓半徑．
（ⅰ）求角的大小；
（ⅱ）求△面積的最大值．
31．【理】如圖，正四稜錐的側稜長是底面邊長的
倍，為側稜上的點．
（ⅰ）求證：；
（ⅱ）若平面，求二面角的大小；
（ⅲ）在（ⅱ）的條件下，側稜上是否存在一點，使
∥平面．若存在，求的值；若不存在，說明
理由．32．已知橢圓的離心率為，且經過點.
（ⅰ）求橢圓的方程；
（ⅱ）設為橢圓上的兩個動點，線段的垂直平分線交軸於點，求的取值範圍.
33．已知橢圓的離心率為，短軸長為．
（ⅰ）求橢圓的方程；
（ⅱ）已知點，過原點的直線與橢圓交於兩點，直線交橢圓於點，求△面積的最大值．
34．【理】動圓過點且在軸上截得的線段長為，記動圓圓心軌跡為曲線.
（ⅰ）求的方程;
（ⅱ）已知是曲線上的兩點，且，過兩點分別作曲線的切線，設兩條切線交於點，求△面積的最大值．
35．【理】已知拋物線，過點的直線交拋物線於兩點.
（ⅰ）求直線斜率的取值範圍；
（ⅱ）設點**段上，且，求點的軌跡方程.
36．已知拋物線的焦點為，準線為，過點的直線交拋物線於兩點.在直線上任取一點，記依次為直線的斜率，證明：成等差數列.
37．已知函式，其中.
（ⅰ）求的單調遞減區間；
（ⅱ）若存在，，使得，求的取值範圍.
38．如圖，矩形內接於由函式
及的圖象圍成的封閉圖形，其中頂點在直線
上，求矩形面積的最大值．
39．已知函式.
（ⅰ）討論函式的單調性；
（ⅱ）設.如果對任意，，求的取值範圍.
40．討論函式的零點個數，其中.
41．（ⅰ）設實數，證明：；
（ⅱ）從編號1到 100的100張卡片中每次隨即抽取一張，然後放回，用這種方式連續抽取20次，設抽得的20個號碼互不相同的概率為.證明：.
2023年西城區高三數學複習參考資料
2023年5月
一、選擇題：
提示：1．由，得.
若，則；若，則.
2．，，，所以最大.
又.4．強調立體幾何的傳統方法．
6．適當用點平面幾何知識，圓心是頂點和焦點構成的線段的中垂線與橢圓的交點．
7．設，則.
消去整理得，即，利用均值定理即可.
8．由及是上的增函式，得.
進而（捨去），或，或（捨去）.
由，得；由，得；
由，得.
注意到，且，得，.
9．解：設細桿與另一走廊一邊夾角為，又設另一走廊的寬為.
由於只有乙個極小值，所以它是最小值，這時.
11．簡解：的定義域為.
由，得.
易知是極大值點，由得.
強調導數的工具性！
二、填空題：
13．； 14．； 1516．，；
17．； 18．； 19．①、②、③； 20．；
21．； 22．； 23．； 24．，或；
25．； 26．； 27．．
提示：14．鏈結，由，得點的軌跡是以，為焦點，長軸長為的
橢圓.以線段所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸建立座標系，易求得點的軌跡方程為.
由，且，得，注意到，從而.
18．轉化為直線與圓相離.
20．兩式相減得，即.
由，得.
所以，所以.
21． 當是正奇數時，原不等式化為，欲使上式對於任意正奇數恆成立，則
當是正偶數時，原不等式化為，欲使上式對於任意正偶數恆成立，
則 22．點在已知橢圓的內部（含邊界）．
23．，即，所以.
24．由的含義知；
設，則，.
於是，原方程等價於，即，
解得，所以，或，相應的，或.
25．將這個的正整數按被除的餘數分為類：從每類中各取個數或類中各取個數符合要求.
27．設，則.從而轉化為.
由，得當時，；
當時，.
於是，函式在內為減函式，在內為增函式.
故（即）得最小值為.
三、解答題：
28．（ⅰ）由，根據正弦定理得，所以，
由為銳角三角形得．
（ⅱ）．
由為銳角三角形知，，，故．
從而，所以．
由此有，
所以，的取值範圍為．
說明：本題（ⅱ）中的範圍的判斷易錯！
29．（ⅰ）解：依題意，所以
因為，且，所以
所以．（ⅱ）解：由三角函式定義，得，從而．
所以因為，所以
所以當，即時，取得最小值．
說明：本題（ⅱ）中三角函式的定義希望學生關注！
30．（ⅰ）由，得，
所以，即，
因為為△內角，所，．
由，得．
（ⅱ）又由餘弦定理得，
即又， 所以
所以有，
當且僅當即△為等邊三角形時，△的面積取得最大值
31．解法一：連線，設，如圖建立空間直角座標系.
（ⅰ）設，則，，
∴ ，，，
∴ ，.
∵ ，∴ .
（ⅱ）平面的乙個法向量，平面的乙個法向量.
設二面角的平面角為，
∵ ，∴ 二面角的大小為.
（ⅲ）側稜上存在一點，使得∥平面．
由（ⅱ）得是平面的乙個法向量，，．
設 ，則 ，
而 ，解得．
即當時，，
∵ 平面，
∴ ∥平面．
解法二：
（ⅰ）設點在平面上的正投影為，鏈結，．
∵ 是正四稜錐，
∴ 平面，
∴ 是在平面上的正射影．
∵ 是正方形，
∴ ，
根據三垂線定理，得.
（ⅱ）鏈結.
∵ 是正四稜錐，
∴ ≌，
∵ 是的中點，
∴ .
又 ，
∴ 是二面角的平面角.
設，則，.
∵ 平面，
∴ ，且.
在中，，
∴ 二面角的大小為.
（ⅲ）側稜上存在一點，使得∥平面．
取的中點，鏈結，在平面內過點作//，交於點，則點為所求.
證明如下：
∵ 是等邊三角形
∴ //．
又平面∥平面，
∴ ∥平面．
32．（ⅰ）橢圓的方程為：
（ⅱ）設，則，.
依題意有，即，
整理得.
將，代入上式，消去，得.
依題意有，所以.
注意到，，且兩點不重合，從而.
所以.說明：變數方程觀解決多變數問題！
33．解：（ⅰ）橢圓的方程為．
（ⅱ）設直線的方程為，代入橢圓方程得，
由，得，
所以，．
因為是的中點，
所以．由，
設，則，
當且僅當時等號成立，此時△面積取最大值,最大值為．
34．解：（ⅰ）設圓心座標為，那麼，化簡得．
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