北京市西城區2023年高三一模試卷
高三數學（文科） 2013.4
第ⅰ卷（選擇題共40分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．
第ⅱ卷（非選擇題共110分）
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．
9．已知向量，．若向量與垂直，則實數______．
10．已知函式則______．
11．拋物線的準線方程是______；該拋物線的焦點為，點在此拋物線上，且，則______．
12．某廠對一批元件進行抽樣檢測．經統計，這批元件的長度資料 (單位：)全部介於至之間．
將長度資料以為組距分成以下組：，
，，，，
，得到如圖所示的頻率分布直方圖．若長
度在內的元件為合格品，根據頻率分布直
方圖，估計這批產品的合格率是_____．
13．在△中，內角，，的對邊邊長分別為，，，且．若，則△的面積是______．
14．已知數列的各項均為正整數，其前項和為．若且，
則三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（本小題滿分13分）
已知函式的乙個零點是．
（ⅰ）求實數的值；
（ⅱ）設，求的單調遞增區間．
16．（本小題滿分14分）
在如圖所示的幾何體中，面為正方形，面為等腰梯形， //，，，．
（ⅰ）求證：平面；
（ⅱ）求四面體的體積；
（ⅲ）線段上是否存在點，使//平面？
證明你的結論．
17．（本小題滿分13分）
某商區停車場臨時停車按時段收費，收費標準為：每輛汽車一次停車不超過小時收費元，
超過小時的部分每小時收費元（不足小時的部分按小時計算）．現有甲、乙二人在該商區臨時停車，兩人停車都不超過小時．
（ⅰ）若甲停車小時以上且不超過小時的概率為，停車付費多於元的概率為，求甲
停車付費恰為元的概率；
（ⅱ）若每人停車的時長在每個時段的可能性相同，求甲、乙二人停車付費之和為元的概率．
18．（本小題滿分13分）
已知函式，，其中．
（ⅰ）求的極值；
（ⅱ）若存在區間，使和在區間上具有相同的單調性，求的取值範圍．
19．（本小題滿分14分）
如圖，已知橢圓的左焦點為，過點的直線交橢圓於兩點，線段的中點為，的中垂線與軸和軸分別交於兩點．
（ⅰ）若點的橫座標為，求直線的斜率；
（ⅱ）記△的面積為，△（為原點）的面積為．
試問：是否存在直線，使得？說明理由．
20．（本小題滿分13分）
已知集合．
對於，，定義；
；與之間的距離為．
（ⅰ）當時，設，，求；
（ⅱ）證明：若，且，使，則；
（ⅲ）記．若，，且，求的最大值．
北京市西城區2023年高三一模試卷
高三數學（文科）參***及評分標準
2013.4
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.
1． b； 2．a； 3．d； 4．b； 5．c； 6．c； 7．a； 8．b．
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.
91011．，；
121314．，．
注：11、14題第一問2分，第二問3分.
三、解答題：本大題共6小題，共80分.若考生的解法與本解答不同，正確者可參照評分標準給分.
15．（本小題滿分13分）
（ⅰ）解：依題意，得1分
即3分解得5分
（ⅱ）解：由（ⅰ）得6分
8分10分
由，得12分
所以的單調遞增區間為13分
16．（本小題滿分14分）
（ⅰ）證明：在△中，
因為，，，
所以2分
又因為，
所以平面4分
（ⅱ）解：因為平面，所以．
因為，所以平面6分
在等腰梯形中可得，所以
所以△的面積為7分
所以四面體的體積為9分
（ⅲ）解：線段上存在點，且為中點時，有// 平面，證明如下：
………………10分
鏈結，與交於點，連線．
因為為正方形，所以為中點11分
所以12分
因為平面，平面13分
所以 //平面．
所以線段上存在點，使得//平面成立14分
17．（本小題滿分13分）
（ⅰ）解：設「甲臨時停車付費恰為元」為事件1分
則．所以甲臨時停車付費恰為元的概率是4分
（ⅱ）解：設甲停車付費元，乙停車付費元，其中6分
則甲、乙二人的停車費用構成的基本事件空間為：
，共種情形10分
其中，這種情形符合題意12分
故「甲、乙二人停車付費之和為元」的概率為13分
18.（本小題滿分13分）
（ⅰ）解：的定義域為， 且2分
① 當時，，故在上單調遞增．
從而沒有極大值，也沒有極小值4分
② 當時，令，得
和的情況如下：
故的單調減區間為；單調增區間為．
從而的極小值為；沒有極大值6分
（ⅱ）解：的定義域為，且8分
③ 當時，在上單調遞增，在上單調遞減，不合題意．
9分 ④ 當時，，在上單調遞減．
當時，，此時在上單調遞增，由於在上單調遞減，不合題意11分
當時，，此時在上單調遞減，由於在上單調遞減，符合題意
綜上，的取值範圍是13分
19．（本小題滿分14分）
（ⅰ）解：依題意，直線的斜率存在，設其方程為1分
將其代入，整理得3分
設，，所以4分
故點的橫座標為．
依題意，得6分
解得7分
（ⅱ）解：假設存在直線，使得，顯然直線不能與軸垂直．
由（ⅰ）可得8分
因為，所以，
解得， 即10分
因為 △∽△，
所以11分
所以12分
整理得13分
北京市西城區2023年高三一模物理
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