數學（理科） 2012.5
一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.
二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.
9．在△中，，，，則_____．
10．已知複數滿足，則_____．
11．如圖，△是⊙的內接三角形，是⊙的切線，交於點，交⊙於點．若，，，，則
12．已知函式是上的偶函式，則實數_____；不等式的解集為_____．
13．乙個幾何體的三檢視如圖所示，其中正檢視和側檢視是腰長為的兩個全等的等腰直角三角形，該幾何體的體積是_____；若該幾何體的所有頂點在同一球面上，則球的表面積是_____．
14．曲線是平面內到定點和定直線的距離之和等於的點的軌跡，給出
下列三個結論：
① 曲線關於軸對稱；
② 若點在曲線上，則；
③ 若點在曲線上，則.
其中，所有正確結論的序號是
三、解答題共6小題，共80分. 解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
15．（本小題滿分13分）
已知函式．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）若對於任意的，都有，求實數的取值範圍．
16．（本小題滿分14分）
如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥，，，．
（ⅰ）求證：；
（ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；
（ⅲ）線段上是否存在點，使// 平面？若存在，求出；若不存在，說明理由．
17．（本小題滿分13分）
甲、乙兩人參加某種選拔測試．在備選的道題中，甲答對其中每道題的概率都是，乙能答對其中的道題．規定每次考試都從備選的道題中隨機抽出道題進行測試，答對一題加分，答錯一題（不答視為答錯）減分，至少得分才能入選．
（ⅰ）求乙得分的分布列和數學期望；
（ⅱ）求甲、乙兩人中至少有一人入選的概率．
18．（本小題滿分13分）
已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線於，兩點．
（ⅰ）若，求直線的斜率；
（ⅱ）設點**段上運動，原點關於點的對稱點為，求四邊形面積的最小值．
19．（本小題滿分14分）
已知函式，其中．
（ⅰ）當時，求曲線在原點處的切線方程；
（ⅱ）求的單調區間；
（ⅲ）若在上存在最大值和最小值，求的取值範圍．
20．（本小題滿分13分）
若或，則稱為和的乙個位排列．對於，將排列記為；將排列記為；依此類推，直至．
對於排列和，它們對應位置數字相同的個數減去對應位置數字不同的個數，叫做和的相關值，記作．例如，則，．
若，則稱為最佳排列．
（ⅰ）寫出所有的最佳排列；
（ⅱ）證明：不存在最佳排列；
（ⅲ）若某個是正整數為最佳排列，求排列中的個數．
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.
1．d； 2．d； 3．b； 4．a； 5．c； 6．c； 7．c； 8．d．
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.
91011
121314．① ② ③．
注：11、12、13第一問2分，第二問3分；14題少填不給分.
三、解答題：本大題共6小題，共80分.
15．（本小題滿分13分）
（ⅰ）解5分
（ⅱ）解7分
………………8分
9分 因為，所以10分
所以當，即時，取得最大值11分
所以， 等價於．
故當，時，的取值範圍是． ………………13分
16．（本小題滿分14分）
（ⅰ）證明：取中點，鏈結，．
因為，所以1分
因為四邊形為直角梯形，，，
所以四邊形為正方形，所以． ……………2分
所以平面3分
所以4分
（ⅱ）解：因為平面平面，且，
所以平面，所以．
由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角座標系． …………5分
因為三角形為等腰直角三角形，所以，設，所以
所以，平面的乙個法向量為． ………………7分
設直線與平面所成的角為，
所以即直線與平面所成角的正弦值為9分
（ⅲ）解：存在點，且時，有// 平面10分
證明如下：由，，所以．
設平面的法向量為，則有
所以取，得12分
因為，且平面，所以// 平面．
即點滿足時，有// 平面14分
17．（本小題滿分13分）
（ⅰ）解：設乙答題所得分數為，則的可能取值為．………………1分
5分乙得分的分布列如下：
6分7分
（ⅱ）由已知甲、乙至少答對題才能入選，記甲入選為事件，乙入選為事件.
則10分
11分故甲乙兩人至少有一人入選的概率． ……13分
18．（本小題滿分13分）
（ⅰ）解：依題意，設直線方程為1分
將直線的方程與拋物線的方程聯立，消去得． …………3分
設，，所以4分
因為，所以5分
聯立①和②，消去，得． ………6分
所以直線的斜率是7分
（ⅱ）解：由點與原點關於點對稱，得是線段的中點，從而點與點到直線的距離相等，
所以四邊形的面積等於9分
因為10分
12分 所以時，四邊形的面積最小，最小值是13分
19.（本小題滿分14分）
（ⅰ）解：當時2分
由， 得曲線在原點處的切線方程是．…………3分
（ⅱ）解4分
① 當時，．
所以在單調遞增，在單調遞減5分
當，．② 當時，令，得，，與的情況如下：
故的單調減區間是，；單調增區間是． ………7分
③ 當時，與的情況如下：
所以的單調增區間是；單調減區間是，．
9分（ⅲ）解：由（ⅱ）得，時不合題意10分
當時，由（ⅱ）得，在單調遞增，在單調遞減，所以在上存在最大值．
設為的零點，易知，且．從而時，；時，．
若在上存在最小值，必有，解得．
所以時，若在上存在最大值和最小值，的取值範圍是．
12分 當時，由（ⅱ）得，在單調遞減，在單調遞增，所以在上存在最小值．
若在上存在最大值，必有，解得，或．
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