北京市西城區2023年高三一模試卷
數學（理科） 2014.4
第ⅰ卷（選擇題共40分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．
選擇題共110分）
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．
9．設複數，其中，則______．
10. 若拋物線的焦點在直線上，則_____；的準線方程為_____．
11．已知乙個正三稜柱的所有稜長均等於2，它的俯檢視是乙個邊長為2的正三角形，那麼它的側（左）檢視面積的最小值是
12．若不等式組表示的平面區域是乙個四邊形，則實數的取值範圍是_______.
13. 科技活動後，3名輔導教師和他們所指導的3名獲獎學生合影留念（每名教師只指導一名學生），要求6人排成一排，且學生要與其指導教師相鄰，那麼不同的站法種數是______. （用數字作答）
14．如圖，在直角梯形中，，，，，，p為線段（含端點）上乙個動點，設，，對於函式，給出以下三個結論：
當時，函式的值域為； ，都有成立；
，函式的最大值都等於4. 其中所有正確結論的序號是
三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（本小題滿分13分）
在△abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c. 已知.
（ⅰ）求的大小；
（ⅱ）如果，，求△abc的面積.
16．（本小題滿分13分）
在某批次的某種燈泡中，隨機地抽取200個樣品，並對其壽命進行追蹤調查，將結果列成頻率分布表如下. 根據壽命將燈泡分成優等品、**和次品三個等級，其中壽命大於或等於500天的燈泡是優等品，壽命小於300天的燈泡是次品，其餘的燈泡是**.
（ⅰ）根據頻率分布表中的資料，寫出a，b的值；
（ⅱ）某人從燈泡樣品中隨機地購買了個，如果這n個燈泡的等級情況恰好與按三個等級分層抽樣所得的結果相同，求n的最小值；
（ⅲ）某人從這個批次的燈泡中隨機地購買了3個進行使用，若以上述頻率作為概率，用x表示此人所購買的燈泡中次品的個數，求x的分布列和數學期望.
17．（本小題滿分14分）
如圖，在四稜柱中，底面和側面都是矩形，是的中點，，.
（ⅰ）求證：；
（ⅱ）求證： // 平面；
（ⅲ）若平面與平面所成的銳二面角的大小為，求線段的長度.
18．（本小題滿分13分）
已知函式其中．
（ⅰ）當時，求函式的圖象在點處的切線方程；
（ⅱ）如果對於任意，且，都有，求的取值範圍.
19．（本小題滿分14分）
已知橢圓，直線l與w相交於兩點，與x軸、軸分別相交於、兩點，o為座標原點.
（ⅰ）若直線的方程為，求外接圓的方程；
（ⅱ）判斷是否存在直線，使得是線段的兩個三等分點，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.
20．（本小題滿分13分）
在數列中，. 從數列中選出項並按原順序組成的新數列記為，並稱為數列的項子列. 例如數列為的乙個4項子列.
（ⅰ）試寫出數列的乙個3項子列，並使其為等差數列；
（ⅱ）如果為數列的乙個5項子列，且為等差數列，證明：的公差滿足；
（ⅲ）如果為數列的乙個項子列，且為等比數列，證明：.
北京市西城區2023年高三一模試卷參***及評分標準
高三數學（理科2014.4
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.
1．c2．b3．d4．c
5．d6．a7．a8．c
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.
9101112．
1314．,
注：第10題第一問2分，第二問3分. 第14題若有錯選、多選不得分.
三、解答題：本大題共6小題，共80分. 其他正確解答過程，請參照評分標準給分.
15．（本小題滿分13分）
（ⅰ）解：因為，
所以3分
又因為，
所以5分
（ⅱ）解：因為，，
所以7分
由正弦定理9分
得10分
因為，所以
解得，因為，所以11分
故△abc的面積13分
16．（本小題滿分13分）
（ⅰ）解2分
（ⅱ）解：由表可知：燈泡樣品中優等品有50個，**有100個，次品有50個，
所以優等品、**和次品的比例為4分
所以按分層抽樣法，購買燈泡數，
所以的最小值為6分
（ⅲ）解：的所有取值為7分
由題意，購買乙個燈泡，且這個燈泡是次品的概率為， ……… 8分
從本批次燈泡中購買3個，可看成3次獨立重複試驗，
所以，，
，11分
所以隨機變數的分布列為：
………………12分
所以的數學期望．
………………13分
（注：寫出，，. 請酌情給分）
17．（本小題滿分14分）
（ⅰ）證明：因為底面和側面是矩形，
所以，，
又因為，
所以平面2分
因為平面，
所以4分
（ⅱ）證明：因為，
所以四邊形是平行四邊形
連線交於點，連線，則為的中點.
在中，因為，，
所以6分
又因為平面，平面，
所以平面8分
（ⅲ）解：由（ⅰ）可知，
又因為，，
所以平面9分
設g為ab的中點，以e為原點，eg，ec，所在直線分別為x軸，y軸，z軸
如圖建立空間直角座標系，
設，則.
設平面法向量為，
因為，由得
令，得11分
設平面法向量為，
因為，由得
令，得12分
由平面與平面所成的銳二面角的大小為，
得13分
解得14分
18.（本小題滿分13分）
（ⅰ）解：由題意，得，其中2分
所以，又因為，
所以函式的圖象在點處的切線方程為4分
（ⅱ）解：先考察函式，的圖象，
配方得5分
所以函式在上單調遞增，在單調遞減，且.
……………… 6分
因為對於任意，且，都有成立，
所以8分
以下考察函式，的圖象，
則，令，解得9分
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