北京市西城區2023年高三一模試卷
高三數學（理科） 2013.4
第ⅰ卷（選擇題共40分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．
第ⅱ卷（非選擇題共110分）
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．
9．已知曲線的引數方程為（為引數），則曲線的直角座標方程為 ．
10．設等差數列的公差不為，其前項和是．若，，則______．
11．如圖，正六邊形的邊長為，則
______．
12．如圖，已知是圓的直徑，在的延長線上，
切圓於點，於．若，，
則圓的半徑長為
13．在直角座標系中，點與點關於原點對稱．點在拋物線上，且直線與的斜率之積等於，則______．
14．記實數中的最大數為，最小數為.設△的三邊邊長分別為，且，定義△的傾斜度為．
（ⅰ）若△為等腰三角形，則______；
（ⅱ）設，則的取值範圍是______．
三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（本小題滿分13分）
已知函式的乙個零點是．
（ⅰ）求實數的值；
（ⅱ）設，求的單調遞增區間．
16．（本小題滿分13分）
某班有甲、乙兩個學習小組，兩組的人數如下：
現採用分層抽樣的方法（層內採用簡單隨機抽樣）從甲、乙兩組中共抽取名同學進行學業檢測．
（ⅰ）求從甲組抽取的同學中恰有名女同學的概率；
（ⅱ）記為抽取的名同學中男同學的人數，求隨機變數的分布列和數學期望．
17．（本小題滿分14分）
在如圖所示的幾何體中，面為正方形，面為等腰梯形， //，，
，．（ⅰ）求證：平面；
（ⅱ）求與平面所成角的正弦值；
（ⅲ）線段上是否存在點，使平面平面？
證明你的結論．
18．（本小題滿分13分）
已知函式，，其中．
（ⅰ）求的極值；
（ⅱ）若存在區間，使和在區間上具有相同的單調性，求的取值範圍．
19．（本小題滿分14分）
如圖，橢圓的左焦點為，過點的直線交橢圓於，兩點．當直線經過橢圓的乙個頂點時，其傾斜角恰為．
（ⅰ）求該橢圓的離心率；
（ⅱ）設線段的中點為，的中垂線與軸和軸分別交於兩點．記△的面積為，△（為原點）的面積為，求的取值範圍．
20．（本小題滿分13分）
已知集合．
對於，，定義；
；與之間的距離為．
（ⅰ）當時，設，．若，求；
（ⅱ）（ⅰ）證明：若，且，使，則；
（ⅱ）設，且．是否一定，使？
說明理由；
（ⅲ）記．若，，且，求的最大值．
北京市西城區2023年高三一模試卷
高三數學（理科）參***及評分標準
2013.4
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.
1． b； 2．a； 3．d； 4．b； 5．c； 6．b； 7．d； 8．a．
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.
91011．
121314．，．
注：12、14題第一問2分，第二問3分.
三、解答題：本大題共6小題，共80分.若考生的解法與本解答不同，正確者可參照評分標準給分.
15．（本小題滿分13分）
（ⅰ）解：依題意，得1分
即3分解得5分
（ⅱ）解：由（ⅰ）得6分
7分8分
9分10分
由，得12分
所以的單調遞增區間為13分
16．（本小題滿分13分）
（ⅰ）解：依題意，甲、乙兩組的學生人數之比為1分
所以，從甲組抽取的學生人數為；從乙組抽取的學生人數為．………2分
設「從甲組抽取的同學中恰有名女同學」為事件3分
則，故從甲組抽取的同學中恰有名女同學的概率為5分
（ⅱ）解：隨機變數的所有取值為6分
10分所以，隨機變數的分布列為:
11分13分
17．（本小題滿分14分）
（ⅰ）證明：因為，，
在△中，由餘弦定理可得，
所以2分
又因為，
所以平面4分
（ⅱ）解：因為平面，所以．
因為，所以平面5分
所以兩兩互相垂直，如圖建立的空間直角座標系． ………………6分在等腰梯形中，可得．
設，所以．
所以，，．
設平面的法向量為，則有
所以取，得8分
設與平面所成的角為，則，
所以與平面所成角的正弦值為9分
（ⅲ）解：線段上不存在點，使平面平面．證明如下10分
假設線段上存在點，設 ，所以
設平面的法向量為，則有
所以取，得12分
要使平面平面，只需13分
即， 此方程無解．
所以線段上不存在點，使平面平面14分
18.（本小題滿分13分）
（ⅰ）解：的定義域為1分
且2分① 當時，，故在上單調遞減．
從而沒有極大值，也沒有極小值3分
② 當時，令，得
和的情況如下：
故的單調減區間為；單調增區間為．
從而的極小值為；沒有極大值5分
（ⅱ）解：的定義域為，且6分
③ 當時，顯然，從而在上單調遞增．
由（ⅰ）得，此時在上單調遞增，符合題意8分
④ 當時，在上單調遞增，在上單調遞減，不合題意．……9分
⑤ 當時，令，得．
和的情況如下表：
當時，，此時在上單調遞增，由於在上單調遞減，不合題意11分
當時，，此時在上單調遞減，由於在上單調遞減，符合題意
綜上，的取值範圍是13分
19．（本小題滿分14分）
（ⅰ）解：依題意，當直線經過橢圓的頂點時，其傾斜角為1分
設，則2分
將代入，
解得3分
所以橢圓的離心率為4分
（ⅱ）解：由（ⅰ），橢圓的方程可設為5分
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2012年5月 一 選擇題 二 填空題 13 已知向量，其中 則的取值範圍是 14 已知，是兩個定點，動點滿足，的垂直平分線交 於點，則的取值範圍是 15 理 正三稜柱中，分別為側稜，上的動點 含端點 為的中點，且.則直線，所成角的大小為 16 已知不等式組所表示的平面區域為，則的面積是 設點，且，...
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