北京市西城區2023年高三三模試卷
數學（理科2014．5
第i卷（選擇題共分）
一、 選擇題：本大題共小題，每小題分，共分．在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．
1．已知集合，，若，則實數的取值範圍是（ ）．
abcd．
2．在復平面內，複數對應的點位於（ ）．
a． 第一象限 b．第二象限c．第三象限d．第四象限
3．直線為雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的離心率是（ ）．
abcd．
4．某四稜錐的三檢視如圖所示，記為此稜錐所有稜的長度的集合，則（ ）．
a． ，且
b． ，且
c． ，且
d．，且
5．設平面向量，，均為非零向量，則「」是「」的（ ）．
a．充分不必要條件 b．必要不充分條件
c．充分必要條件d．既不充分也不必要條件
6．如圖，陰影區域是由函式的一段圖象與軸圍成的封閉圖形，那麼這個陰影區域的面積是（ ）．
ab． cd．
7．在平面直角座標系中，不等式組所表示的平面區域是，不等式組所表示的平面區域是．從區域中隨機取一點，則為區域內的點的概率是（ ）．
abcd．
8．設為平面直角座標系中的點集，從中的任意一點作軸、軸的垂線，垂足分別為，，記點的橫座標的最大值與最小值之差為，點的縱座標的最大值與最小值之差為．
若是邊長為的正方形，給出下列三個結論：
①的最大值為；
②的取值範圍是；
③恆等於0．
其中所有正確結論的序號是（ ）．
abcd．①②③
第ii卷（非選擇題共分）
二、填空題：本大題共小題，每小題分，共分．
9．的二項展開式中，常數項為
10．在中，若，則
11．如圖，和是圓的兩條弦，與相交於點，且，則
12．執行如圖所示的程式框圖，輸出的值為
13．設拋物線的焦點為為拋物線上一點，，則的取值範圍為
14．已知是有序數對集合上的乙個對映，正整數對在對映下的象為實數，記作，對於任意的正整數，對映由下表給出：
則_______，使不等式成立的集合是
三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（本小題滿分分）
在平面直角座標系中，點，其中．
（i）當，求向量的座標；
（ii）當時，求的最大值．
16．（本小題滿分分）
為了解某校學生的視力情況，現採用隨機抽樣的方式從該校的兩班中各抽5名學生進行視力檢測．檢測的資料如下：
班的5名學生的視力檢測結果：，，，，．
班的5名學生的視力檢測結果：，，，，．
（i）分別計算兩組資料的平均數，從計算結果看，哪個班的學生視力較好？
（ii）由資料判斷哪個班的5名學生視力方差較大？（結論不要求證明）
（iii）現從班的上述5名學生中隨機選取3名學生，用表示其中視力大於的人數，求的分布列和數學期望．
17．（本小題滿分分）
如圖，在三稜錐中，底面為的中點，為的中點，
（i）求證：面；
（ii）求與平面所成角的正弦值
（iii）設點**段上，且平面，求實數的值．
18．（本小題滿分分）
已知函式，其中
（i）若，求函式的極值；
（ii）當時，試確定函式的單調區間．
19．（本小題滿分分）
設是橢圓上不關於座標軸對稱的兩個點，直線交軸於點（與點不重合），為座標原點．
（i）如果點是橢圓的右焦點，線段的中點在軸上，求直線的方程；
（ii）設為軸上一點，且，直線與橢圓的另外乙個交點為，證明：點與點關於軸對稱．
20．（本小題滿分分）
在無窮數列中，，對於任意，都有．設，記使得成立的最大值為．
（i）設數列為1，3，5，7，,寫出的值；
（ii）若為等差數列，求出所有可能的數列；
（iii）設，求的值．（用表示）
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